Числовые ряды: основные понятия

Пусть задана последовательность чисел:

Опр. 1. Выражение u₁+u₂+…+u_n =называется числовым рядом; числа u₁+u₂+…+u_n называются членами ряда; число u_n называется общим членом ряда.

Опр. 2. Сумма п первых членов ряда S_n= u₁+u₂+…+u_n называется п-ой частичной суммой ряда.

Опр. 3. Если существует конечный предел , то число S называют суммой ряда , а сам ряд называют сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что ряд расходящийся.

Рассмотрим ряд . Это сумма геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Если , прогрессия называется убывающей. Сумму первых п членов этой прогрессии находят по формуле . Если , то и . Значит, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия всегда сходится. Если , то и прогрессия расходится.

Опр. 4. Если числовой ряд сходится, то разность R_n между его суммой S и частичной суммой S_n называется п-м остатком ряда, то есть R_n = S - S_n.

Замечание. Остаток ряда R_n является той погрешностью, которая получится, если вместо S взять S_n. Поскольку , то, взяв достаточно много первых членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой точностью.

Свойства рядов:

1. Если ряды и сходятся и их суммы U и V, то ряд также сходится и его сумма равна U V.

2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где А=const, также сходится и его сумма равна АS.

3. Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет.

Дата добавления: 2014-01-13