Ряд Маклорена

В середине интервала сходимости степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать, причём полученные при этом ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Необходимое и достаточное условия разложимости функции в степенной ряд. Если функция f (х) в интервале (x₀ - R,x₀+R) имеет производные всех порядков и существует такое число М >0, что, , п =0, 1, 2,…, где , то функцию f (х) можно разложить в ряд Тейлора:

При ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки x₀ имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f (x) только при тех значениях x, при которых остаточный член R_n(x) при неограниченном возрастании n стремится к нулю.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:

1) написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить значения этой функции и её производных при x = х₀ и подставить их в общее выражение ряда Тейлора;

2) исследовать остаточный R_n член формулы Тейлора для данной функции и определить те значения x, при которых полученный ряд сходится к данной функции, т. е. при которых

§ 5. Методы разложения функций в ряд Тейлора

1. Метод, использующий формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пример. Разложить функцию в ряд Тейлора.

Решение. Представим функцию f(x) в виде суммы простых дробей, используя метод неопределенных коэффициентов:

Дата добавления: 2014-01-13