Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: .

Число называют пределом последовательности . При этом записывают или .

Пример. .

Покажем, что . Зададим любое число . Неравенство выполняется для , такого, что , что определение сходимости выполняется для числа . Значит, .

Иными словами означает, что все члены последовательности с достаточно большими номерами мало отличается от числа , т.е. начиная с некоторого номера (при ) элементы последовательности находятся в интервале , который называется –окрестностью точки .

Последовательность , предел которой равен нулю (, или при ) называется бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

q Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

q Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где – постоянная; – бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Если , то

3. .

4. При любых постоянных и .

5.

6. Если , и , то .

7. Если , то .

8. Если и , то .

9. Если , то .

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени числителя и знаменателя).

Последовательность называется:

· возрастающей, если .

· строго возрастающей, если .

· убывающей, если .

· строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Дата добавления: 2014-01-13