Интегральные суммы

Тема 6. Определенные интегралы.

Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:

интегральная сумма; определенный интеграл; верхний предел интегрирования; нижний предел интегрирования; верхняя и нижняя суммы Дарбу; равномерная непрерывность функции; квадрируемость фигур; криволинейная трапеция; тела вращения; несобственный интеграл.

Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , , . Точки , , , будем называть точками разбиения . Пусть - произвольная точка частичного сегмента , а - разность , которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .

Определение. Число , где

называется интегральной суммой ( или суммой Римана ) функции , соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .

Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного можно указать такое число , что для любого разбиения сегмента , для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек , на сегментах выполняется неравенство , т.е. .

Определение.: Функция называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.

Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования.

В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось , линии и , а также график функции .

Обозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте .

Определение: Суммы

и

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента .

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения.

Дата добавления: 2014-01-13