Объемы тел вращения

Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело , и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела .

Пусть - числовое множество объемов вписанных в тело , а - числовое множество объемов описанных вокруг многогранников. Множество ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , а через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижним объемом и верхним объемом тела .

Замечание: Нижний объем тела не больше верхнего объема этого тела, т. е. .

Определение: Тело называется кубируемым, если верхний объем этот тела совпадает с нижним объемом . При этом число называется объемом тела .

Теорема: Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанные в тело многогранник, разность объемов которых была бы меньше .

Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте . Тогда тело , образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , ординатами в точках и , и отрезком оси между точками и , кубируемо и его объем может быть найден по формуле

.

Дата добавления: 2014-01-13