Интегрирование функций многих переменных

Понятие двумерной интегральной суммы, пределом которой является двойной интеграл, можно ввести на основе задачи об объеме тела.

Задача: Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу – конечной замкнутой областью плоскости и с боков – прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Для этого разобьем основание на конечное число элементарных ячеек и в каждой из этих ячеек выберем точку . Объем такого элемента равен . Объем всей фигуры можно приближенно найти как сумму с любой степенью точности в зависимости от числа ячеек и, соответственно, их размера. Если предположить, что число элементарных ячеек бесконечно возрастает, а их диаметр при этом является величиной бесконечно малой, то можно получить точное выражение для объема всей фигуры:

Таким образом, двойной интеграл имеет простой геометрический смысл, он выражает объем криволинейного цилиндрического бруса, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу – конечной замкнутой областью плоскости и с боков – прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Двумерной интегральной суммой от данной функции , определенной на области называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек области на значения функции в точке .

Двойным интегралом от функции определенной на области называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Теорема. Если область с кусочно-непрерывной границей ограничена и замкнута, а функция непрерывна в области , то двойной интеграл т.е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем целесообразно пользоваться наиболее удобным для декартовой системы координат разбиением на прямоугольную сетку, образованную пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям и . В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники, со сторонами и . Таким образом, в обозначении интеграла можно учесть что . Тогда

Для вычисления двойного интеграла применяется процедура повторного интегрирования.

Предположим для определенности, что область интегрирования представляет собой криволинейную трапецию:

, ,

где и – однозначные непрерывные функции на отрезке . Важно отметить, что вертикаль, проходящая через любую точку на отрезке оси , пересекает границу области интегрирования только в двух точках: в точке входа и в точке выхода . Такая область называется стандартной относительно оси .

Теорема. Если для функции определенной в области ( стандартной относительно оси ), существует двойной интеграл и существует интеграл , то

При этом, интеграл называется повторным. Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух интегралов: вначале находится внутренний интеграл по переменной (при этом переменная рассматривается как постоянная величина); после этого полученное выражение повторно интегрируется по переменной .

Задача вычисления кратного интеграла может быть обобщена на мерный случай и аналогично решена путем сведения кратного интеграла к повторному. Пусть функция определена и ограничена в замкнутой области . Область разбивается на элементарных частей , таких что , пересечением любой пары элементарных частей будет множество точек, размерность которого не превышает .

В каждой элементарной части выбирается точка и составляется интегральная сумма:

,

где объемная мера области ;

объемная мера области .

Для того чтобы вычислить интегральную сумму, необходимо, чтобы элементарные части допускали исчисление объемной меры в достаточно простой и редуктируемой форме.

кратным интегралом функции по области называется предел интегральной суммы при и, соответственно, . – наибольшая протяженность элементарной области для данного разбиения.

Этот предел не должен зависеть от способов разбиения на части и от выбора точек в каждой из них. Указанный интеграл можно представить в следующим образом:

По форме этот интеграл сходен с определенным интегралом , который также является пределом интегральной суммы:

где , , , , .

Очевидно, что в кратном интеграле, как и в случае определенного интеграла, интегральные суммы ограничены снизу и сверху значениями сумм Дарбу и :

где , .

Свойствами одномерных сумм Дарбу обладают и мерные суммы. При этом для любой ограниченной функции

и ,

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции является условие , что эквивалентно выражению

при

Величина называется колебанием функции в элементарной области и является величиной положительной при любом .

В результате можно установить, что к числу интегрируемых функций будут относиться функции, непрерывные на замкнутой области . При вычислении кратный интеграл сводится к повторному интегралу, т.е. вычислению обычного интеграла от внутреннего интеграла кратности .

7.2 Свойства кратного интеграла

1. Интеграл по области, имеющей нулевую «объемную» меру в , равен нулю. При этом к областям с нулевой «объемной» мерой в , относятся разнообразные множества, которые заданы в пространстве , .
2. Если две функции и интегрируемы в , то сумма этих функций также интегрируема в и .
3. Если функция интегрируема в , а – постоянная величина, то функция также интегрируема в и .
4. Пусть область является объединением областей и , а пересечение этих областей есть множество , размерность которого меньше . Если функция интегрируема в , то она интегрируема в и и при этом
5. Если функция определена и интегрируема в , и при этом (за исключением, быть может, некоторой части с размерностью меньше ), то
6. Если две функции и определены и интегрируемы в , причем , то
7. Если функция определена и интегрируема в , то также интегрируема в , причем
8. Если функция является постоянной , то
9. Если функция определена и интегрируема в и ограничена снизу и сверху значениями и , соответственно (, , ), то

Контрольные вопросы к теме

1. Понятие двумерных интегральных сумм и их сходимость.
2. Повторное интегрирование и методы вычисления двойных и кратных интегралов.

Дата добавления: 2014-01-13