Функциональные ряды

В каждой точке определения функций если принять , то функциональный ряд

преобразуется в числовой ряд

, который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Совокупность значений при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда

Суммой ряда называется функция , определенная в каждой точке области сходимости ряда.

По определению предела означает, что

В общем случае зависит как от , так и от . Интерес представляют ряды, для которых зависит только от .

Последовательность функций сходится равномерно к на множестве , если

Ряд сходится равномерно на множестве X к сумме , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве к функции .

Теорема. Для того чтобы ряд сходился равномерно на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы .

Для установления на практике равномерной сходимости рядов пользуются достаточными признаками.

Признак равномерной сходимости, основанный на сравнении функционального ряда со сходящимся числовым.

Теорема. Если члены ряда удовлетворяют неравенствам , где , а числа, не зависящие от , и если ряд сходится, то ряд сходится равномерно на множестве X.

Достаточные условия непрерывности суммы ряда

Теорема. Если функции определены и непрерывны на множестве X и ряд сходится равномерно к сумме S (x) , то эта сумма будет непрерывна на множестве X.

Свойства равномерно сходящихся рядов:

Теорема. Если функции определены и непрерывны на отрезке и ряд сходится равномерно на к сумме , то его можно почленно интегрировать на этом отрезке

.

Теорема. Если функции определены на отрезке и существуют непрерывные производные на интервале , а ряд сходится на и равномерно сходится ряд , то сумма ряда имеет на интервале непрерывную производную, причем, .

Таким образом, ряд можно почленно дифференцировать.

Дата добавления: 2014-01-13