Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Множення й ділення додатних раціональних чисел


Нехай відрізок а — сумірний з одиничним відрізком е1 а відрізок е1 — з відрізком е2, причому а = , е1 = е2, тобто па =• ре1,

1 = qе2. Тоді (пk) а = (рk)е1, (рk) е1 = (рq)е2. Звідси (nk) а = (pq)е2. Остання рівність показує, що довжина відрізка а при одиничному

відрізку е2 виражається дробом . Проте за умо­вою Тому щоб виконувалася властивість мультиплікативності

треба, щоб

Наведені міркування приводять до такого природного означення. Означення 17. Нехай а, b Є Q+ і нехай ці числа зображуються дробами і . Добутком аb називається додатне раціональне число, що зображується дробом . Числа а і b називають множниками, а опе­рацію знаходження добутку — множенням.

Теорема 26. Для будь-яких додатних раціональних чисел а і b існує добуток аb і при тому єдиний.

Доведення. Справедливість першої частини теореми випливає з означення добутку. Доведемо другу частину теореми. Покажемо,

що добуток аb не залежить від вибору дробів і , Що зображують числа а і b, тобто

Справді, якщо i , то pn1=np1 i qk1=kq1.

Перемноживши ці рівності, дістанемо

(рп1) (qk1) = (np1)(kq1), або (pq)(n1k1) = (nk)(p1q1).

Звідси

Теорему доведено.

Зазначимо, що коли натуральні числа розглядати як елементи множини Q+, то множення їх за наведеним означенням зводиться дп івнчайного множення натуральних чисел. Справді, нехай р, q Є N.

Розглядаючи ці числа як елементи Q+, можна зобразити їх відповідно дробами Тому їхній добуток за означенням дорівнює числу, що зображується дробом

Теорема27. Операція множення додатних раціональних ч исел маввластивості:

комутативності

a, b Є Q+

Асоціативності

0a, b, c Є Q+

 

 

 

 

 

дистрибутивності відносно додавання

( а) ( b) ( с) ((а + b)с = ас + bс), а, b, сЄ Q+;

монотонності

( а) ( b) ( с)(а<b ас<bс), а, b, с Є Q+.

Доведення всіх сформульованих властивостей безпосередньо ви¬пливає з відповідних властивостей множення у множині N. якщо врахувати означення 13, 14, 17.

Вище означили добуток двох додатних раціональних чисел. Добу­ток п додатних раціональних чисел (п > 2) означають так само, як у випадку цілих чисел (див. п. 16.7).



Ділення додатних раціональних чисел вводиться як операція, обернена до операції множення.

Означення 18. Часткою додатних раціональних чисел а і b назива­ють таке додатне раціональне число с = а : b, що сb = а. Число a називають діленим, b дільником, а операцію знаходження част­ки — діленням.

Теорема 28. Для будь-яких додатних раціональних чисел а і b існує частка а : b і при тому єдина.

Доведення. Нехай а, b Є Q+, дроби, що зображують відповідно ці числа. Позначимо через с додатне раціональне число, що зображується дробом Тоді , тобто cb = a. Отже, c= a : b, тобто частка існує.

Доведемо єдиність частки. Припустимо, що існують дві частки: с1 = a : b, c2 = a : b. Тоді за означенням маємо:

c1b = a, c2b = c, тому c1b = c2b. Якби с1 ≠ с2, то згідно з властивістю монотонності множення, c1b ≠ c2b. Отже, с1 = с2.

Теорему доведено.

Зазначимо, що будь-який дріб можна розглядати як частку від ділення його чисельника на знаменник. Справді, нехай р, q Є N. Тоді

p : q

Якщо дано дріб , то

 

p i q.

 

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Додавання додатних раціональних чисел | Зчисленність множини додатних раціональних чисел

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 1833; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.024 сек.