Зчисленність множини додатних раціональних чисел

Розглянемо ще одну властивість множини Q₊. Як відомо, множи­ну М називають зчисленною, якщо між множиною М і множиною N можна встановити взаємно однозначну (бієктивну) відповідність.

Теорема 29. Множина Q₊ зчисленна.

Доведення. Зобразимо кожне додатне раціональне число у вигляді нескоротного дробу. Таке зображення завжди існує і єдине. Тому для доведення теореми досить показати, що множина нескорот­них дробів — зчисленна.

Назвемо висотою нескоротного дробу суму його чисельника і зна­менника. Зрозуміло, що існує лише скінченне число нескоротних дро­бів, які мають задану висоту. Так, висоту 2 має лише дріб = 1,

висоту 3 мають дроби i , висоту 4 —дроби і , висоту 5 — дроби і т. д. Впорядкуємо нескоротні дроби в порядку зро­стання висоти, а при однаковій висоті — в порядку зростання чисель­ників. Тим самим буде встановлено взаємно однозначну (бієктивну) відповідність між множинами Q₊ i N. Для зручності задамо цю від­повідність таблицею:

Q+										…
N										…

Існування такої відповідності й доводить зчисленність множини Q₊. Теорему доведено.

Дата добавления: 2014-01-13