Непрерывность сложной ф-ии

Пусть:

1. Ф-ия - непрерывна в т. y0. 2. Ф-ия - непрерывна в т. х0. 3.

Þтогда сложная ф-ия - непрерывна в т. х0.

Доказательство:

А).

Б).

из А) и Б) следует:

Sl.

Непрерывность ф-ии на множестве.

Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х, если она непрервна в каждой точке этого меожества.

Непрерывность обратной ф-ии:

Пусть - непрерывна и строго монотонна на промежуте Х, тогда справедливо:

1. *****

2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия .

3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.

Непрерывность элементарной ф-ии:

1. **********

2. Доказательство непрерывности основной элементарной ф-ии tg и ctg, следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.

3. Непрерывность log, arcsin, arccos, arstg следует из определения непрерывности обратной ф-ии.

Df Элементарные ф-ии, полученные из основных элементарных ф-ий с помощью арифметических операций, взятых в конечном числе,********

Характеристика точек разрыва ф-ии.

1. Точка устранимого разрыва.

D(f) т. х₀ называется точкой устранимого разрыва ф-ии , если она не определена в этой точке, но имеет конечный предел.

Ф-ию можно сделать непрерывной в этой точке, доопределив ей значение в этой точке равным пределом.

2. Точка разрыва первого рода.

D(f) х₀ – точка разрыва первого рода, если существует конечный левосторонний и правосторонний предел не равные между собой.

Разницу (b-a)называют скачком ф-ии в т. х₀

3. Точка разрыва второго рода.

*********************************

Односторонняя непрерывность ф-ии.

1. Если в D(f) 1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то получим определение односторонней непрерывности ф-ии.

2. Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ справа, если правосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

3. Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ слева, есди левосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

Например:

- исследуем предел ф-ии справа и слева:

ф-ия непрепывна в точке х=0.

Для непрерывности в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

Дата добавления: 2014-01-13