Складне відношення чотирьох прямих пучка

Теорема: Дано: точки А, В, С, D є l,

точки А^!, В^!, С^!, D^!- проекції на пряму l^!

Дов. (АВ,СD)=(А^!В^!,С^!D^! )

Через координати

R=(А,В,О,Е), D єАВ D(d₁,d₂,0)_R,

D(d₁,d₂), R₃=(А,В,C)

(АВ,СD)= (1)

R^!=(А^!,В^!,О,Е) D^! єА^!В^!D^!(d^!₁,d^!₂,0) _R!,

D^!(d^!₁,d^!₂), R^!₃=(А^!,В^!,C^!)

(А^!В^!,С^!D^!)= (2)

Формули перетворення

А^!(1,0,а)_R х₁=х₁^!

В^!(0,1, b)_R х₂=х₂^!

О(0, 0, 1)_R * (1,-а, -b) х₃=ах₁^! +в х₂^! +(1-а-в)х₃^!

Е(1,1, 1)_R (1, 1,1) d₁=d₁^!

d₂=d₂^! (3)

d₃ =

(1).(2),(3) (АВ,СD)= (А^!В^!,С^!D^!)

П(О)+ Т

Складним відношенням чотирьох прямих пучка називається складне відношення чотирьох точок перетину будь-якої прямої з прямими пучка

a b c d

(аb,сd)=(АВ,СD)= (А^!В^!,С^!D^!)

Знаходження складного відношення чотирьох точок прямої через їх координати відносно репера на площині

A₂ P₂, R=(A₁,A₂,A₃,E) P₂

M(m₁,m₂ , m₃ )

N(n₁, n₂, n₃ )

K(k₁, k₂, k₃ ) R

P(p₁, p₂, p₃ )

A₁ M₂, N₂, K₂, P₂, E₂ A₃

M N

K P d

M---------M₂ M₂(m₁,m₃)
N---------N₂ A₁A₃ N₂(n₁,n₃)

K---------K₂ K₂(k₁,k₃) R₂=(A₁, A₃,E₂ )

P----------P₂ P₂(p₁,p₃)

За теоремою про складне відношення чотирьох прямих пучка

(MN, KP)=(M₂N₂,K₂P₂)=

Повний 4-вершинник

Означення: Повним 4-вершинником називається фігура, яка складається з чотирьох точок проективної площини загального положення та шести прямих, які попарно з’єднують ці точки.

B - 4-вершинник

і

A і протилежні сторони

Y і

C

D

діагональні точки діагоналі

Теорема:1) На кожній діагоналі повного 4-вершинника є

четвірка гармонійних точок: дві з яких є діагональними, а дві

інші – це точки перетину цієї діагоналі з протилежними

сторонами, що проходять через третю діагональну точку;

В

А - повний 4-вершинник

Y

С

D

M

	N

Пучок перетнуто прямими і

Чому?

Пучок перетнуто прямими і

Чому?

якщо отже

(3)

суперечність умові гармонічна четвірка

2) з (1),(3)

На кожній стороні повного 4-вершинника є четвірка гармонічних точок:

дві з них – вершини, одна діагональна, одна – точка перетину цієї сторони

з діагоналлю, що проходить через дві інші діагональні точки;

3)

Кожна діагональна точка є центром пучка гармонічних прямих, дві з

яких – протилежні сторони, дві інші – діагональні прямі.

Дата добавления: 2014-01-13