Залишається довести, що це перетворення f єдине

Означення: Перетворення проективної площини називається проективним, якщо точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на прямій, так, що зберігається складне відношення чотирьох точок прямої.: (А,В,С,D) d (А!,В!,С!,D!)d! і

Проективні перетворення площини

План

1. Проективні перетворення площини. Властивості проективних перетворень.

2. Теореми про існування, єдиність та задання проективного перетворення площини.

3. Гомологія. Властивості гомології.

4. Аналітичне задання проективного перетворення площини.

5. Група проективних перетворень площини.

6. Предмет проективної геометрії.

Ключові слова: проективне перетворення площини, складне відношення 4-х точок прямої, не тотожне проективне перетворення, гомологія, вісь гомології, інваріантна пряма, інваріантна точка, пряма інваріантних точок, центр гомології, гіперболічна, параболічна гомологія, аналітичне задання, група проективних перетворень площини.

(АВ,СD) = (А^!В^!,С^!D^!)

Лема 1 Нехай і проективні репери на проективній площині. Тоді (задамо) відображення f, яке кожній точці площини з заданимикоординатами в репері R ставить у відповідність точку з тими ж координатами в , є проективним перетворенням площини.

f – відображення

j f - ін’єктивне відображення

k f – сюр’єктивне відображення

j,k f – бієктивне відображення Р₂ на себе

1. f – перетворення Р₂ чи проективне???

a) Якщо , , лежать на одній прямій, то

X^/, Y^/, Z^/ - лежать на одній прямій

б) При перетворенні f зберігається складне відношення 4^х точок прямої

А₂ A₂^!

А₃ Х₂^!- У₂^! Z₂^! Т₂ ^! А₃^!

Х₂^- У₂ Z₂ Т₂

А₁

X^/

Y^!

X Y Z T z^/

Т¹

т. - проекції т. - проекції

т. т.

? Чому?

Якщо

Лема 2 Якщо проективнІ перетворення f₁ і f₂ триточки прямої d переводять відповідно у точки (тобто= А^! …..) то і = М^! (де М –довільна точка прямої d)

Нехай f₁ : f₂ :

(АВ,СМ^/)=(АВ,СМ^//), М^/ = М^//.

Теорема Нехай і - довільні репери проективної площини. Тоді існує одне і тільки одне проективне перетворення, яке переводить репер R в репер R^!. При цьому точка з даними координатами в репері R переходить в точку з тими ж координатами в репері

За лемою 1 (Можна задати): перетворення f, при якому відповідні точки мають однакові координати відносно своїх реперів, буде проективним.

Доведемо методом від супротивного.

За умовою Нехай

Проведемо довільну пряму, що перетинає сторони координатного трикутника А₁ А₂А₃.

d

Маємо: , Р А₁А₂, За лемою 2: , Р^/ .

Аналогічно

(лема 2)

Отже, . Тому - єдине проективне перетворення, яке репер R переводить в репер R^/

Дата добавления: 2014-01-13