Канонічне рівняння еліпса

.

.

Після скорочення отримаємо

,

,

,

Враховуючи, що , позначимо .

Отримаємо

З наведених вище рівностей видно, що а - половина заданої сталої величини, с - половина відстанні між фокусами, а b - деяка величина, що залежить від них обох.

Дослідимо форму еліпса.

З рівняння видно, що якщо точка належить еліпсу, то точки , , також належать еліпсу. Отже, точка О(0;0) – центр симетрії еліпса.

При y=0 тобто точки належать еліпсу. Аналогічно, при х=0 тобто точки теж належать еліпсу.

Розглянемо . Видно, що при зростанні х від 0 до а - y спадає від b до 0, і навпаки, при спаданні х від а до 0 - y зростає від 0 до b.

2а=А₁А₂ – називається великою віссю еліпса (або фокальною віссю), а – велика піввісь, 2b – мала вісь, b – мала піввісь.

Розглянемо величину , так як с<a, то e<1. З іншого боку , тобто 0<e<1. . Велична e характеризує форму еліпса. Чим ближча вона до 0, тим більше еліпс схожий на коло. При e=0 отримаємо коло.

e - називаємо ексцентриситетом еліпса.

Директриса еліпса – це пряма, яка проходить перпендикулярно до фокальної осі на відстанні від центра. Тобто, існує дві директриси: х = і х = -.

Побудуємо еліпс .

Зведемо рівняння до канонічного виду і знайдемо рівняння директрис та координати фокусів. . . Звідси с=±3.

Таким чином, і - рівняння директрис.

2. Гіпербола - сукупність точок на площині, абсолютна величина різниці віддалей яких до двох даних точок (фокусів) є величина стала. (Ця величина не дорівнює нулю і менша ніж віддаль між фокусами).

Аналогічно до виведення рівняння еліпса, позначимо відстань між фокусами . Виберемо деяку точку .

Тоді . F₁M i F₂M назвемо фокальними радіусами.

Рівняння гіперболи набере вигляду:

Провівши перетворення, аналогічні до попереднього пункту, отримаємо:

Дата добавления: 2014-01-13