Тема. Решение уравнений колебания для полуограниченной струны

Л Е К Ц И И 6 - 8

с помощью формулы Даламбера. Решение уравнения колебаний методом разделения переменных. Решение неоднородного уравнения методом Фурье.

Рассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной прямой (). Эта задача имеет особенно важное значение при изучении процессов отражении волн от конца и ставится следующим образом.

Найти решение уравнения колебаний

при , , (1)

удовлетворяющее граничному условию

(или )

и начальным условиям

(). (2)

Рассмотрим сначала случай однородного граничного условия

(или ) (3)

то есть задачу о распространении начального возмущения на струне с закрепленным концом .

Отметим следующие две леммы о свойствах решений уравнений колебаний, определенных на бесконечной прямой.

1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки , то соответствующее решение в этой точке равно нулю.

2. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на не ограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки , то производная по x соответствующего решения в этой точке равно нулю.

Докажем лемму 1. Примем за начало координат, = 0. В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся в виде

, .

Функция , определяемая формулой Даламбера, при и равна

,

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.

Аналогично доказывается лемма 2. Условия четности начальных данных имеет вид

, .

Заметим, что производная четной функции является функцией нечетной

.

Из формулы Даламбера следует

, ,

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе – в силу четности .

Для решения нашей задачи (1)-(3), рассмотрим функции и , являющиеся нечетным продолжением и , входящих в условие (2):

Функция

определена для всех x и . В силу леммы 1

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

.

Таким образом, рассматривая полученную функцию только для , , мы получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Возвращаясь к прежним функциям, можно написать:

(4)

В области , для бесконечной прямой, влияние граничных условий не сказывается. Выражение для в этом случае совпадает с решением Даламбера.

Аналогично, если при мы имеем свободный конец

то, для четного продолжения функций и

получим решение уравнения колебаний

,

или

,

удовлетворяющее в области начальным условиям (2) и граничному условию .

Решение уравнения колебаний методом разделения переменных

Метод разделения переменных, или метод Фурье является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными.

Будем искать решение уравнения

(1)

удовлетворяющее однородным граничным условиям

, (2)

и начальным условиям

(3)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать частное решение уравнения (1) в виде:

, (4)

где - функция только переменного x, - функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (4) в уравнение (1), получим:

или, после деления на XT,

, (5)

где l - постоянная. Из соотношения (5) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определений функций и

, (6)

. (7)

Граничные условия (2) дают:

Отсюда следует, что функция должна удовлетворять дополнительным условиям

.

Таким образом, мы приходим к простейшей задаче: найти значения параметра l, при которых существуют нетривиальные решения задачи:

(8)

а также найти эти решения. Такие значения параметра l называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (8).

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр l отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При l < 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнение (6) имеет вид:

.

Граничные условия дают:

,

(),

то есть

и .

Но в рассматриваемом случае a - действительно и положительно, так что . Поэтому , и, следовательно, .

2. При также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (6) имеет вид:

.

Граничные условия дают:

, ,

то есть, и и, следовательно, .

3. При общее решение уравнения (6) может быть записано в виде:

.

Граничные условия дают:

.

Если не равно тождественно нулю, то , поэтому

откуда

,

где n - любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (8) возможны лишь при значениях

. (9)

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

,

где - произвольная постоянная.

Итак, только при значениях l, равных , существуют нетривиальные решения задачи (8)

, (10)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям соответствуют решения уравнения (7)

, (11)

где и - произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1) - (3), заключаем, что функции

являются частными решениями уравнения(1), удовлетворяющими граничным условиям (2) и представимыми в виде произведения (4) двух функций, одна из которых зависит только от x, другая – от t. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

(12)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2). Начальные условия позволяют определить и . Потребуем, чтобы функция (12) удовлетворяла условиям (3):

(13)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция , заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье:

,

где

.

Если функции и удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

, ,

, .

Сравнение этих рядов с формулами (13) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

, ,

чем полностью определяется функция (12), дающая решение исследуемой задачи.

Интерпретация решения. Функцию можно представить в виде

,

где

, .

Каждая точка струны совершает гармонические колебания

с амплитудой

.

Движение струны такого типа называется стоячей волной. Точки , в которых , в течение всего процесса остаются неподвижными и называются узлами стоячей волны. Точки , в которых , совершают колебания с максимальной амплитудой .

Профиль стоячей волны в любой момент времени представляет синусоиду

,

где

.

В момент времени t, при котором , отклонения достигают максимальных значений, а скорость движения равна нулю. В момент времени t, при которых , отклонение равно нулю, а скорость движения максимальна. Частоты - называются собственными частотами колебаний струны.

Дата добавления: 2014-01-13