Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Продуктивные модели Леонтьева




Определение. Матрица А ³ 0 называется продуктивной, если для любого вектора ³ 0 существует решение ³ 0 уравнения (9.1)

(5)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор ³0конечного потребления можно получить при валовом выпуске ³0.

Нижеследующая теорема 1 показывает, что нет необходимости требовать существования решения ³0 уравнения (9.1) для любого вектора ³0. Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора ³ 0.

Условимся в дальнейшем писать ³0 и называть вектор положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.

Теорема 1 (первый критерий продуктивности.) Если А ³0 и для некоторого положительного вектора * уравнение (7.3) имеет решение * ³ 0, то матрица А продуктивна.

Заметим, что на самом деле > 0, что следует из *= А * + * и А ³ 0, *³ 0, * ³0.

Уравнение Леонтьева (9.1) можно записать следующим образом:

(Е - А) = , (6)

где Е - единичная матрица.

Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е - А.

Понятно, что если обратная матрица (Е - А) -1существует, то из (6) вытекает

(Е - А)-1 (7)

Следующая теорема дает более эффективное условие продуктивности, чем теорема 1

Теорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица А ³ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна.

Доказательство. Если (ЕА)-1 существует и ³ 0, то из формулы (7) следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна, Рассмотрим следующие системы уравнений:

(ЕА) , (ЕА) ,..., (ЕА) , где е 1, е2,…, еn – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) ³ 0, ³ 0,..., ³ 0, что

(ЕА) = , (ЕА)= ,..., (ЕА) = . (9.6)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с 1, с2, ..., сп. Тогда вместо п равенств (9.6) можно написать одно: (Е – А) С = Е.

Следовательно, матрица (Е – А)имеет обратную С, причем С ³ 0. Теорема доказана.

Пример 1. Исследуем на продуктивность матрицы

В данном случае

Необходимые вычисления предоставим читателю провести самостоятельно. Получаем матрицу (ЕА)-1, которая существует и равна

Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, А продуктивна.

Теорема 3. (третий критерий продуктивности). Матрица А ³0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходиться бесконечный ряд.

Е + А + А 2 +... (8)

Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (сходимость ряда (8)) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1*, то А продуктивна. Действительно, пусть q - наибольшая из указанных сумм, q <1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q. Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы А 2 не превосходит q 2:

( A 2)ij = ai 1 a jl + ai 2 aj 2 +...+ ainanj £ q (ai 1 +...+ anj) < q 2 <1.

Точно так же получим, что элементы матрицы А 3 не превосходит q 3 и т.д. Отсюда следует сходимость ряда (8), а значит, и продуктивность матрицы А.

Напримердля матрицы

сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно, А продуктивна.

Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна. Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: если продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица А т,что следует из теоремы 2.

Пусть А 0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число , что все матрицы , где 1<<1 + , продуктивны, а матрица (1 +) А – не продуктивна.

Пример 2. Выяснить, какой запас продуктивности имеет матрица А из примера 30.

Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы (ЕА)-1). В данном случае

Определитель этой матрицы

.

Обратной матрицей будет

.

Для продуктивности нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны, т.е. , , . Имеем при , . Отсюда матрица продуктивной при , т.е. . Запас продуктивности матрицы А равен 0,015.

 

Задания для самостоятельной работы

 

Задача 1. Отрасль состоит из четырех предприятий: вектор выпуска продукции и матрица коэффициентов прямых затрат имеют вид

, .

Найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

Задача 2. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства указаны в табл. 9.3.

Таблица 9.3




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 3510; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.024 сек.