Постановка задачи стимулирования

Стимулированием называется побуждение агентов к совершению определённых действий, осуществляемое воздействием центра на их целевые функции.

Механизмом стимулированияназывается правило принятия центром решений относительно материальных выплат агентам. Механизм стимулирования включает в себя систему стимулирования, определяемую функцией стимулирования, которая задаёт зависимость вознаграждения агента, получаемого им от центра от выбираемых действий у. Термины «механизм стимулирования», «система стимулирования», «функция стимулирования» в дальнейшем будут употребляться как синонимы.

Рассмотрим простейшую организационную систему, модель которой описывается пятью параметрами: состав, структура, целевые функции, допустимые множества и информированность. Структура данной системы изображена на рис. 3.1. В качестве центра может выступать работодатель, руководитель агента или организация, заключившая договор с агентом. В качестве агента может выступать наёмный работник, подчинённый или организация, являющаяся второй стороной по договору. В договорах российских организаций под центром понимается «ЗАКАЗЧИК», а под агентом – «ИСПОЛНИТЕЛЬ».

Рис. 3.1. Структура базовой организационной системы

Стратегией агента является выбор действия (количество произведённой продукции, количество отработанных часов). Стратегией центра является выбор функции вознаграждения , принадлежащей допустимому множеству M и ставящей в соответствие действию агента некоторое неотрицательное вознаграждение. Множество допустимых вознаграждений M может ограничиваться законодательно (минимальным размером оплаты труда), экономическими критериями деятельности центра, тарифно-квалификационными требованиями к оплате. Множество допустимых действий – положительная полуось .

Выбор действия у требует от агента затрат с(у), выраженных в денежной форме, и приносит центру доход Н(у). Интересы участников системы выражены их целевыми функциями (функциями полезности, предпочтения). Целевая функция агента – это разность между функцией стимулирования (количеством материальных выплат, которые он получает) и функцией затрат:

.

С экономической точки зрения затраты агента можно интерпретировать как денежный эквивалент тех усилий, которые агент должен произвести для достижения действия у.

Для центра целевой функцией является разность между доходом и затратами на стимулирование агента:

.

Функция стимулирования и доход измеряются в денежных единицах. Рациональное поведение агентов заключается в максимизации своей целевой функции путем выбора действия y. Определим информированность и порядок функционирования системы. На момент принятия решения о том, какую систему стимулирования следует установить агентам, центр имеет информацию о том, какие действия агент может выбрать и о предпочтениях агента (его целевой функции). Агент знает выбранную систему стимулирования, то есть функциональную зависимость материального вознаграждения от действия. Центр, обладая правом первого хода, сообщает агенту выбранную функцию стимулирования, после чего агент выбирает действие, максимизирующее его целевую функцию. Основная идея стимулирования заключается в том, что, изменяя систему стимулирования, центр может побуждать агента выбирать те или иные действия. Целевая функция центра зависит от действия, выбираемого агентом.

Множество действий агента, доставляющих максимум его целевой функции, называется множеством действий, реализуемых данной системой стимулирования:

. (3.1)

Зная, что агент выбирает действия из множества (3.1), центр должен найти систему стимулирования, которая максимизировала бы его собственную целевую функцию. Так как множество P(y) может содержать более одной точки, необходимо ввести дополнительные предположения о выборе агента. Примем гипотезу благожелательности – из всех действий, обеспечивающих одинаковое значение его целевой функции, агент выбирает то действие, которое благоприятно для центра.

Эффективностью системы стимулирования называется значение целевой функции центра на множестве действий агента, реализуемых данной системой стимулирования:

.

Прямая задача синтеза оптимальной системы стимулирования заключается в выборе допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность:

.

Обратная задача стимулирования заключается в поиске множества систем стимулирования, реализующих заданное действие с заданными свойствами (например с минимальными затратами на стимулирование).

Предполагается, что у агента имеется альтернатива - заключить договор с другой организацией (другим центром) или получать пособие по безработице. Альтернативный доход агента (в терминологии теории контрактов [36] - резервная заработная плата reservation wage constraint) обозначим U. Часто под альтернативным доходом понимается средняя заработная плата на рынке. Центр должен обеспечить агенту значение целевой функции не меньшее, чем получение .

Задача стимулирования заключается в том, чтобы выбрать оптимальную систему стимулирования, то есть систему, имеющую максимальную эффективность:

(3.2)

Конкретизируем функцию стимулирования и функцию затрат агента. Рассмотрим следующую задачу стимулирования: центр поручает агенту выполнение работы по производству продукции, используя следующую систему стимулирования: , где α – ставка оплаты единицы произведенной агентом продукции (рис. 3.1). Цена, по которой центр продаёт продукцию - p. Затраты агента, выраженные в денежной форме: , где r – коэффициент, который характеризует квалификацию агента и переводит затраты в денежное выражение. Чем выше квалификация агента, тем меньше его усилия по производству продукции. Необходимо определить параметр системы стимулирования α. Запишем целевую функцию центра:

и целевую функцию агента:

.

Задача стимулирования формулируется:

Данная задача решается в 2 этапа. На первом этапе из выражения (3.4) определяется реакция агента как аналитическая зависимость от параметра системы стимулирования центра . На втором этапе полученная аналитическая зависимость подставляется в формулу (3.3), получается задача безусловной оптимизации. Решая эту задачу, определим параметр системы стимулирования .

Первый этап. Найдем реакцию агента из решения оптимизационной задачи (3.4). Для этого продифференцируем выражение (3.4) по y и приравняем к нулю:

.

Решая уравнение, определим реакцию агента:

.

Реакция агента, то есть объём производимой им продукции, который максимизирует его прибыль, прямо пропорционален ставке оплаты продукции α и квалификации агента r.

Второй этап. Подставим реакцию агента в целевую функцию (3.3):

.

Вычислим первую производную и приравняем к нулю:

.

Решая уравнение, определим параметр α:

.

Параметр системы стимулирования зависит только от цены продукции.

В том случае, если действие агента не определяется аналитически, задачу стимулирования возможно решить с помощью численного алгоритма, основанного на методе Ньютона [30, 31].

Дата добавления: 2014-01-13