Обобщенные степенные ряды. Ряд Тейлора

Как мы уже говорили, ряд вида (2) называется обобщенным степенным рядом. Сделав в нем замену , получим обычный степенной ряд вида (1):

(34)

Он, как мы знаем, сходится на интервале , где

(35)

- радиус сходимости ряда (34). Тогда эта величина R определяет и интервал сходимости обобщенного степенного ряда (2):

То есть областью сходимости ряда (2) является интервал и, возможно, его концы (рис. 2).

Различные функции можно раскладывать не только в обычные степенные ряды, используя разложение Маклорена (20), но и в обобщенные степенные ряды. А именно, если функция бесконечно дифференцируема в точке х₀, то для такой функции можно записать разложение вида

(36)

Это разложение называется разложением функции в степенной ряд Тейлора. Оно вытекает из формулы Тейлора и справедливо для всех х, для которых остаточный член

(37)

этой формулы стремится к нулю при . Обычно это выполняется для всех х, входящих в интервал сходимости ряда Тейлора (36).

Сравнивая разложение (20) функции в ряд Маклорена и разложение (36) этой же функции в ряд Тейлора, видим, что разложение Маклорена использует в качестве опорной точки значение , а разложение Тейлора – произвольное значение . Поэтому говорят, что разложение Маклорена – это разложение функции в степенной ряд в окрестности точки , а разложение Тейлора – это разложение функции в степенной ряд в окрестности точки . С удалением х от опорной точки (от нуля для ряда Маклорена и от x₀ для ряда Тейлора) сходимость каждого из этих рядов ухудшается (идет медленнее). А при достаточно больших х, выходящих за интервалы их сходимости, разложение заданной функции в эти ряды становится заведомо несправедливым.

Пример 7. Получить разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Опираясь на формулу (36) и учитывая, что

; ; ; ; ; …,

а значит,

; ; ; ; ; …,

получим:

(38)

Анализируя остаточный член (37) (анализ этот опускаем), можно показать, что при для . Значит, для этих х верно и разложение Тейлора (38):

(39)

Впрочем, разложение (3) можно было бы получить и проще, опираясь на полученное ранее разложение (16), если сделать в нем замену (1+ х) на х.

Дата добавления: 2014-01-13