Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Зависимые и независимые случайные величины

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение принимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

 

Теорема. Для того чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих.

 

Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

 

Теорема. Для того чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих.

 

Корреляционным моментом случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

 

Практически используются формулы:

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

 

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

 

Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

 

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

 

Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

 

Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

 

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости.

Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Часто по заданной плотности распределения системы случайных величин можно определить зависимость или независимость этих величин.

Наряду с коэффициентом корреляции степень зависимости случайных величин можно охарактеризовать и другой величиной, которая называется коэффициентом ковариации. Коэффициент ковариации определяется формулой:

 

Пример 52.4. Задана плотность распределения системы случайных величин Х и Y.

Выяснить являются ли независимыми случайные величины Х и Y.

Решение.

Для решения этой задачи преобразуем плотность распределения:

Таким образом, плотность распределения удалось представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от у. Т.е. случайные величины Х и Y независимы. Разумеется, они также будут и некоррелированы.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Условное математическое ожидание | Линейная регрессия. Рассмотрим двумерную случайную величину , где X и Y – зависимые случайные величины
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 1036; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.