Система линейных однородных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю:

(1)

Утверждение. Однородная система всегда имеет нулевое решение: , т.е. она всегда совместна. Если , то это будет единственным решением.

Доказательство. Действительно, в этом случае применимо правило Крамера; но .

Аналогично и т.е. и .

В этом случае говорят, что система имеет тривиальное нулевое решение.

Очевидно, что тройка чисел (0, 0, 0) будет решением системы и при ∆=0. Но в этом случае оказывается, что кроме нулевого решения имеется бесчисленное множество ненулевых решений.

Теорема. Для того, чтобы однородная система (1) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю (∆=0).

Доказательство. Необходимость. Дано, что система (1) имеет ненулевые решения.

Доказать: ∆=0.

Предположим противное: . Тогда по правилу Крамера система имеет единственное нулевое решение, что противоречит условию.

Достаточность. Дано, что ∆=0. Надо доказать, что система имеет ненулевые решения.

Если ∆=0, то произвольная линейная система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений. Но однородная система не может быть несовместной, т.к. у нее всегда есть тривиальное решение. Поэтому при ∆=0 она имеет бесчисленное множество решений (помимо нулевого). В этом случае либо одно уравнение системы является следствием двух других, либо какие-либо два уравнения являются следствием третьего.

Дата добавления: 2014-01-13