Метод Гаусса

Формулы Крамера просты по своей записи, но при больших n они приводят к громоздким вычислениям. Кроме того, они, в основном, используются, когда число уравнений равно числу неизвестных и .

При решении систем, содержащих более трех уравнений, гораздо удобнее использовать метод последовательного исключения переменных (метод Гаусса). Пусть дана система:

(1)

Элементарными преобразованиями системы (1) называются следующие операции:

1. Умножение обеих частей одного из уравнений системы на произвольное число .

2. Прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, умноженного на число .

3. Перестановки уравнений в системе.

Очевидно, что в результате каждой из этих операций система (1) перейдет в систему, эквивалентную исходной.

Выпишем матрицу системы (1):

Если в системе (1) выполнено преобразование (2), то получим новую систему с матрицей В^|, причем В^| получается из В следующим образом: к некоторой строке матрицы В прибавляется другая строка, умноженная на λ; и т.д..

Поэтому вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, пишут соответствующую ей матрицу В^|. При этом возможны следующие случаи:

1. Система преобразуется к «треугольному виду», тогда она имеет единственное решение.

2. В преобразованной системе число уравнений может оказаться меньше числа переменных. Такая система преобразуется к «трапецевидной» форме. Система (1) имеет бесчисленное множество решений.

3. В ходе исключения получается противоречивое уравнение. Тогда система (1) несовместна.

Пример.

Дата добавления: 2014-01-13