Примеры связей

СВЯЗИ

1.1. Свободные и не свободные системы. Рассмотрим движение системы материальных точек . Набор векторов , где радиус вектор и вектор скорости - й точки, описывает состояние системы точек. В частности при система вырождается в точку.

Определение 1. Ограничения, налагаемые на вектора , называются связями.

Если связей нет, то говорят, что система свободна. В противном случае – не свободна.

Пример 1. Материальная точка может двигаться только в фиксированной плоскости . Дадим математическое описание этой связи. Выберем систему координат так, чтобы оси и лежали в плоскости . Тогда связь выражается условием

.

Пример 2. Точка движется по сфере переменного радиуса . Поместим начало координат в центр сферы. Математическое выражение для связи здесь имеет вид

.

Пример 3. Две материальные точки связаны нерастяжимой нитью длиной . Математическая запись данной связи приведена ниже

Пример 4. Конек движется по льду. Скорость его центра все время параллельна лезвию (см. рис. 5 ,). Математическое выражение для этого условия имеет вид

.

1.3. Классификация связей. В общем случае математическое выражение для связи имеет вид

. (1)

Определение 2. Связь называется удерживающая (не освобождающая), если в соотношении (1) имеет место только знак равенства. В противном случае связь называется неудерживающей (освобождающей).

Примеры 1,2,4 – служат примерами удерживающих связей, а пример 3 – неудерживающей.

Определение 3. Связь называется геометрической (конечной), если левая часть равенства (1) не содержит скоростей точек. В противном случае эта связь называется дифференциальной.

Примеры 1,2,3 – служат примерами геометрических связей, а пример 4 – неудерживающей связи.

Определение 4. Дифференциальная связь называется интегрируемой, если ее можно заменить эквивалентной геометрической (путем интегрирования).

Определение 5. Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются голономными, а неинтегрируемые дифференциальные – неголономными связями.

Связь, приведенная в примере 4, будет голономной, если , и не голономной, если этот угол переменный. В первом случае эта связь приводится к виду

,

т. е. к геометрическому.

Определение 6. Система материальных точек называется голономной системой, если на нее наложены только голономные связи. В противном случае она называется неголономной.

Обычно ограничиваются изучением лишь случаем линейных по скоростям точек голономных связей

, (2)

где - заданные функции.

Принимаем, что на систему наложены голономных связей

(3)

и неголономных

. (4)

Заметим, что величина должна быть положительной. В противном случае движение системы невозможно. Эта величина называется числом степеней свободы системы материальных точек.

Определение 7. Голономная связь называется стационарной или склерономной, если левая часть равенства (3) не зависит явно от времени .

Определение 8. Неголономная связь называется стационарной или склерономной, если в равенстве (2) величины не зависят явно от времени и .

Определение 9. Связь называется не стационарной (реономной), если она не является стационарной.

Таким образом, в примере 1 связь голономная, стационарная и удерживающая, в примере 2 – голономная, нестационарная и удерживающая. В примере 3 – голономная, стационарная неудерживающая, в примере 4 в случае- голономная, стационарная и удерживающая, в примере 4 в случае - неголономная, нестационарная и удерживающая.

Дата добавления: 2014-01-13