Выбор с возвращением

Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями. Они могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений с повторениями из элементов по обозначаются и вычисляются по формуле

(5)

Пример 11: Из 3 элементов составить все размещения по два элемента с повторениями.

Решение: Это

Пример 12: Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 2,5,6,8?

Решение: Все пятизначные числа, составленные из этих цифр отличаются друг от друга либо порядком их следования либо самими цифрами. Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е.

Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то это сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из элементов по обозначаются и вычисляются по формуле

(6)

Пример 13: Сколькими способами можно составить букет из пяти цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Решение: Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. Имеем

Пусть в множестве с элементами есть различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется раз, 2-й элемент - раз…, -й элемент - раз, причем

Перестановки из элементов данного множества называют перестановками с повторениями из элементов.

Число перестановок с повторениями из элементов обозначается символом

(7)

Пример 14: Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,3,5,5,8?

Решение: Здесь Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5 и 8, равно

Пример вычисления вероятностей.

Пример 15: В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 будут черными?

Решение: Выбрать 5 шаров из 20 можно способами, т.е. . Определим число случаев, благоприятствующих событию - «среди 5 вынутых шаров 3 будут черными». Число способов выбрать 3 черных шара из 8 равно Каждому такому выбору соответствует соответствует способов выбора 2-х белых шаров из 12 белых в урне. Следовательно, Вероятность

Дата добавления: 2014-01-13