Леция №1

1.1 Волновые поля в кристаллах

Для большого круга задач прикладного структурного анализа рассмотрение явления дифракции существенно упрощается, если предполагать, что интенсивность рассеянных волн много меньше интенсивности первичной волны, и не учитывать многократное рассеяние и сложное интерференционное взаимодействие падающей и рассеянных волн. Такой подход применяется для описания рассеяния на кристаллитах очень малых размеров, тонких слоях и кристаллитах с большой дефектностью. Характерные размеры L кристаллитов удовлетворяют при этом условию

l<<L<<L_э

где l– длина волны излучения,

– объем элементарной ячейки, q_б – брэгговский угол, – классический радиус электрона, равный ≈2,8*10^-13 см, – структурная амплитуда).

Этот подход не совсем подходит для описания дифракции рентгеновских лучей (РЛ) в почти совершенных кристаллах, большинство из которых представляет практический интерес для полупроводниковой промышленности. В кристаллах сравнительно совершенных периодичность распределения электронной плотности приводит к тому, что дифракция рентгеновских лучей является сложным процессом многократного рассеяния с перераспределением интенсивности из падающей волны в дифрагированную и обратно. Такой динамический процесс приводит к образованию в периодической структуре самосогласованного волнового поля. Поэтому соответствующая теория и называется динамической.

Схема возникновения такого волнового поля в кристалле показана на рис. 1. Если какая-либо волна с волновым вектором распространяется в кристалле и встречает под углами Брэгга одну или несколько систем атомных плоскостей, возникает одна или несколько отраженных волн. Волна с волновым вектором и отраженные от атомных плоскостей четное число раз когерентные волны составляют, интерферируя так называемый прямой пучок, прямую волну.

Рисунок 1 - Схема формирования волнового поля в идеальном кристалле при интерференции когерентных волн в случае, когда в отражающем положении находится одно семейство плоскостей.

Сложение когерентных волн, однократно или нечетное число раз отраженных от

какой-либо системы плоскостей, создает результирующую дифрагированную волну с волновым вектором , соизмеримую, в принципе, по амплитуде с прямой волной. Внутри кристалла значения волновых векторов должны удовлетворять закону сохранения импульса;

(1.1)

где – вектор обратной решетки (ОР), отражающей системы атомных плоскостей.

Волны и когерентны и в кристалле образуют единое волновое поле. Коэффициент преломления этого поля зависит, очевидно, от совокупности интерферирующих волн, соотношения их амплитуд и фаз.

Волновой вектор прямой волны в кристалле отличается от волнового вектора в вакууме, отвечающего падающей на кристалл волне:

(1.2)

Где – единичный вектор нормали к поверхности кристалла, d- коэффициент аккомодации, d‹‹1.

Распространение электромагнитных волн в любой среде можно описать с помощью уравнений Максвелла. Уравнение для распространения электромагнитной волн в среде с периодически меняющейся поляризуемостью предложил М. Лауэ [1]. При этом для рентгеновских частот электрическая проводимость в кристалле равна нулю, магнитная проницаемость в гауссовой системе единиц равна единице.

Вектор электрического поля рентгеновской волны, распространяющийся в кристалле, и вектор ее электрической индукции связаны соотношением:

(1.3)

где - диэлектрическая восприимчивость для рентгеновского диапазона частот, - электронная плотность, - классический радиус электрона, m, е – масса и заряд электрона, с – скорость света.

Используя уравнение Максвелла, Лауэ получил уравнение, которому должна удовлетворять функция в кристалле:

(1.4)

Решение этого уравнения ищут в виде суперпозиции плоских волн:

(1.5)

где ν- частота колебания, – амплитуды когерентных волн, составляющих волновое поле. Суммирование проводится по всем векторам ОР . можно рассматривать в качестве амплитуды первичной волны, – амплитуды волн, отраженных от атомных плоскостей, которым отвечают векторы .

Волны удовлетворяют условию, что векторы и взаимно ортогональны.

В периодической среде, идеальном кристалле, поляризуемость удобно представить в виде:

(1.6)

где (1.6а)

(1.6б)

Подставив (1.5) и (1.6) в уравнение (1.4), Лауэ получил следующую систему уравнений.

(1.7)

где - вектор, предоставляющий индукцию волн , перпендикулярный вектору , k – волновой вектор волны в вакууме

().

Введем параметр:

(1.8)

Так как в общем случае правая часть уравнения (2-7) по порядку величины сохраняется, то малым значениям множителя

отвечают сильные плоские волны. В этом случае:

Воспользуемся построением Эвальда. Число узлов, лежащих вблизи сферы Эвальда (соответственно тому, что ) определяют число слагаемых в (1.7). Тем самым волновое поле состоит из нескольких сильных плоских волн, отвечающих отражениям только от тех плоскостей, узлы ОР которых практически лежат на сфере Эвальда, т.е. тех плоскостей, для которых выполняется условие (1.1).

Если первичная волна не отражается ни одной системой плоскостей и уравнение (1.1) не выполняется, тогда в кристалле распространяется только одна волна с волновым вектором .

В этом случае система (1.7) имеет вид:

или .

Учитывая определения (2-8) получаем для коэффициента преломления:

(1.9)

независимо от поляризации вектора .

Наибольший интерес с практической точки зрения представляет так называемое двухлучевое приближение. В этом приближении условию (1) удовлетворяет одна система плоскостей, и волновое поле является суперпозицией двух когерентных волн с волновыми векторами и амплитудами соответственно и , и .

В правой части уравнения (2-5) остается лишь два слагаемых. Причем и в общем случае могут быть величинами одного порядка.

В этом случае систем (2-7) приобретает вид:

(1.10)

, если и поляризованы в плоскости дифракции, π- поляризация.

Где С=

1, если и перпендикулярны плоскости поляризации, -поляризация

Условие нетривиального решения имеет вид:

(1.11)

Из уравнений (2-1) и (2-8) очевидно, что, при пренебрежении квадратами малых величин и , является линейной функцией .

Поэтому уравнение (2-11) является квадратным уравнением относительно (или ). Следовательно имеются для каждого состояния поляризации два значения , т.е. 2 значения и .

Из уравнений (2-10) легко получить отношение амплитуд волн составляющих волновое поле:

(1.12)

Уравнение называют фундаментальным уравнением динамической теории. Они позволяют рассчитывать волновые поля внутри кристалла.

Очевидно, что в периодической среде, если выполняется условие (1.1), для каждого состояния поляризации могут распространяться два волновых поля, удовлетворяющие уравнению (1.10).

Каждое поле характеризуется своим коэффициентом преломления и отношением амплитуд .

Эти два волновых поля существенно отличаются по своим характеристикам. Связь между характеристиками полей и условиями отражения волны от какой-либо системы плоскостей удобно демонстрировать с помощью так называемой дисперсионной поверхности.

2.2 Дисперсионное пространство и геометрия дифракции

Рассмотрим сначала одноволновой случай. Опишем вокруг начала координат ОР сферу радиусом (см. 1.9). Эта сфера является геометрическим местом начал векторов (), характеризующих распространение одноволнового поля. Каждой точке А_i этой сферы отвечает поле с волновым вектором (рис. 2а). То, что эта поверхность-сфера, демонстрирует то, что коэффициент преломления одноволнового поля не зависит от направления распространения и поляризации волны.

Рисунок 2а - Одноволновое поле (сечение сферы проходящее через т.О)

Поверхность, на которой расположены начала векторов в двухволновом случае – дисперсионная поверхность, может быть построена следующим образом. Опишем сферы радиусом

вокруг узлов О и Н ОР (узел отвечает вектору ОР отражающей системы плоскостей) (рис. 1.2б). Пока точки А_i начала векторов лежат на сфере , поле состоит из одной волны. Однако при приближении точки А к точке E появляется отраженная волна. Интерференция волн и изменяет коэффициент преломления и геометрическое место точек начал векторов и образует иную, чем в одноволновом случае поверхность. Поскольку каждой точке поверхности отвечает своя пара векторов и , свой коэффициент преломления и соответственно, определенное волновое поле, эти точки называют точками возбуждения волнового поля, а поверхность – геометрическое место точек возбуждения всех разрешенных волновых полей – дисперсионной поверхностью.

Рисунок 2б - Двухлучевое поле (сечение соответствующее плоскости дифракции)

Чтобы представить форму дисперсионной поверхности, учитывая малое изменение длины волновых векторов из-за преломления, можно рассматривать положение точек возбуждения вблизи точки E. Поэтому заменим окружности и касательными к ним в точке Е. В качестве осей координат выберем нормали к и . Вещественные координаты точки А, характеризующие изменения () из-за преломления или перехода от одно- к двухволновому полю, запишем в виде

(1.13)

Здесь учтено, что в ближайшей окрестности точки E можно полагать, что , а , т.е. оси и практически параллельны и . Теперь равенство (2-11) перепишется в виде:

(1.14)

В заданной косоугольной системе координат и задают координаты точек возбуждения разрешенных волновых полей, отвечающие значениям преломления, вычисляемым по уравнению (1.11). Разным направлениям первичной волны изменяющимся вблизи отражающего положения, отвечают разные точки возбуждения. Уравнение (1.14) описывает сечения дисперсионной поверхности лучевой плоскостью, плоскостью дифракции.

Каждое сечение для заданной поляризации является, гиперболой, две ветви которой отвечают положительным и отрицательным значениям и . Ветвь, отвечающая положительным и , отвечает полям второго типа, отрицательным – первого.

Итак, совокупность точек возбуждения лежащих на дисперсионной поверхности определяет все волновые поля, состоящие из двух волн, образующихся, когда в отражающем положении находится одна система атомных плоскостей.

Положение точки возбуждения определяет все свойства волнового поля. Действительно, уравнения (2-12) позволяют получить отношение амплитуд волн, составляющих поля. Если в соответствии с законом центросимметричности отражения

то и

(1.15)

Из этого соотношения ясно, что если точка возбуждения лежит на (в этом случае =0), то . Если же она лежит на гиперболической поверхности, то при очевидно, что , при и .

При дальнейшем сдвиге вдоль гиперболы становится больше . Наконец, если точка А переходит на , остается одна волна , а =0. Отсюда очевидна относительность представления волны в качестве первичной, а - отраженной. Можно рассматривать волну в качестве первичной, а волна в направлении тогда будет отраженной той же системой плоскостей.

После подстановки (1.13) в уравнении (1.12) очевидно, что соотношение фаз волн и определяется азимутом комплексных чисел и и знаком вещественной величины (или ). Следовательно, для волновых полей, точки возбуждения которых лежат на какой-либо из ветвей дисперсионной поверхности, (для данного состояния поляризации), соотношение фаз волн и . постоянно и меняется на π при переходе с одной ветви на другую, т.к. в этом случае меняются знаки и .

Важнейшую роль в динамической теории рассеяния играет понятие вектора потока энергии волнового поля :

(1.16)

где - мнимая часть волнового вектора , характеризующая затухание поля, () – единичные векторы, параллельные и . Здесь первый сомножитель описывает затухание волнового поля в кристалле.

Очевидно, что и - компоненты векторы в системе координат, оси которой параллельны и . Но из (2-14) следует, что

, а .

Следовательно, и являются компонентами вектора grad B в системе координат, где и параллельны соответственно и . Очевидно, что отношение координат вектора grad B, нормального к кривой в данной точке, равно согласно (2-16), отношению компонент вектора :

Очевидно, что компоненты векторов и grad B пропорциональны в системах координат с параллельными осями, следовательно, сами векторы параллельны.

Направление потока энергии волнового поля совпадает с направлением нормали к дисперсионной поверхности в точке возбуждения данного волнового поля. Из определения (1.5) очевидно, что амплитуда волнового поля в общем случае представляет трехмерно периодическую функцию координат (блоховская волна).

Для двухволнового поля:

(1.5а)

Очевидно, что положение максимумов (или минимумов) этой волны зависит от разносит фаз волн и (см. 2-12). Во всяком случае геометрическое место точек постоянного значения амплитуды параллельно плоскостям, описываемым уравнениям

, (n – целые числа), с межплоскостным расстоянием .

Рассмотрим конкретных пример. Пусть точка возбуждения определяется координатами . В этом случае . Пусть, как это имеет место, например для Si и отражения с индексами 220, структурная амплитуда вещественная величина (если пренебречь поглощением). В этом случае (2-6а) (т.е., записав в общем случае комплексную величину в виде , получаем в нашем случае . Тогда для первой ветви дисперсионной поверхности () разница фаз между и согласно (1.12) равна нулю, т.е. волны и по фазе совпадают, а для разница фаз и равна π и волны находятся в противофазе. В соответствии с (1.5а) амплитуда первого поля:

- второго

(минус соответствует разности фаз π).

В тех точках кристалла, где , (n=0, 1, 2…).

, а . Наоборот, в точках, где

, , а .

На рисунке 3а показано направление потоков энергии и структура волновых полей первого и второго типа. При векторы и параллельны атомным плоскостям. Поглощения волнового поля определяется вероятностью фотоэффекта и пропорционально .

Очевидно, поле первого типа в тех точках кристалла, где проекции на нормаль к отражающим плоскостям равна , поглощается аномально сильно, а поле второго типа, у которого на атомных плоскостях располагаются узлы стоячей волны и пучности между плоскостями поглощается аномально слабо. Эффект аномально слабого поглощения блоховской волны при ее прохождении в кристалле называют эффектом Бормана.

Если точка возбуждения лежит так, что , то .

На рис. 3б показана структура блоховских волн и направление потоков энергий для первого и второго полей. В этих случаях векторы не параллельны атомным плоскостям и различие в поглощении меньше для полей первого и второго типов.

В реальном эксперименте описанные выше волновые поля возбуждаются в ограниченных по размерам кристаллах внешней падающей на кристалл волной.

Рисунок 3 -Напрвление потоков энергии по отношению к атомным плоскостям.

Дата добавления: 2014-01-13