Уравнение энергии для одномерного движения

Рассматриваем одномерное нестационарное движение сжимаемой жидкости.

Необходимо договориться, какие из многочисленных видов энергии (механическая в форме кинетической и потенциальной, тепловая (теплота), электрическая, химическая, внутренняя, атомная и т.д) мы будем рассматривать.

Будем получать уравнение для т.н. тепломеханического воздействия, т.е. рассматривать передачу энергии к частице в форме теплоты и механической работы . Сама частица будет обладать внутренней энергией . Применяя дифференциальный подход, считаем, что частица, обладающая внутренней энергией , получает извне и . Помимо внутренней энергии, учтем наличие у частицы кинетической энергии, связанной с ее движением в пространстве, и потенциальной энергии в поле массовых сил (например, силы тяжести). Все энергии будем рассматривать в удельном виде, т.е. полагать массу единичной. Тогда полная энергия частицы, равная сумме внутренней, кинетической и потенциальной, равна:

. Здесь - ускорение свободного падения, - вертикальная координата.

Частица получает энергию извне в форме теплоты и механической работы, поэтому (1). Нижний индекс суммирования означает, что теплота и работа может передаваться разными способами и от разных источников.

Рассмотрим, как и ранее, фрагмент струи между двумя живыми сечениями (рис.3-1) в момент времени .

У выделенного фрагмента есть два типа границ: живые сечения и боковая поверхность. Если для струи в целом теплота и работа могут поступать только через боковую поверхность, то для выделенного фрагмента возможны передача теплоты и работы и через живые сечения (например, струя может иметь разную температуру в разных сечениях). Поэтому

Сделаем некоторые упрощающие вывод предположения.

Вообще говоря, теплота может передаваться от частицы к частице тремя механизмами: двумя контактными и одним бесконтактным. К контактным механизмам теплообмена относятся кондукция (теплопроводность) и конвекция. Теплопроводность – основной механизм теплообмена в твердых стенках, но он есть и в движущихся средах (жидкостях и газах). Конвекцией теплота передается в движущихся средах за счет перемещения частиц. Как правило, жидкости и газы плохо проводят тепло кондукцией (имеют низкие коэффициенты теплопроводности), и поэтому теплопроводностью пренебрегают, считая что весь перенос теплоты осуществляется только конвекцией. Такое упрощение не годится только для жидких металлов.

Примем, что в нашем курсе рассматриваются неметаллические жидкости.

Третий, бесконтактный механизм теплообмена – излучение (радиация, лучистый теплообмен). Теплообмен излучением описывается законом Стефана – Больцмана для абсолютно черного тела постоянная Больцмана, для серого тела степень черноты, или для системы из двух серых тел . Согласно этому закону, плотность потока лучистого излучения, Вт/м² пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и существенно зависит, в случае системы тел, от разности их температур.

Будем полагать, что температуры жидкостей, рассматриваемых в нашем курсе, не слишком велики и не слишком сильно меняются, и пренебрежем теплообменом излучением.

Таким образом, рассматриваем только конвективный теплообмен. Учтем также, что по живому сечению теплота конвекцией передаваться не может. Тогда , т.е. под передачей теплоты будем подразумевать передачу через боковую поверхность.

Передачу механической работы распишем как сумму работы, передаваемой через боковую поверхность, и т.н. работу проталкивания, связанную с введением вещества в объем при помощи сил давления:

Раскрываем (1):

(2)

Запись для удельных энергий удобно переделать в уравнение для удельных мощностей, поделив на :

(2’)

Точки над теплотой и работой внешних сил означают производные по времени.

Далее, определим работу проталкивания (рис 3-2) и введем в рассмотрение энтальпию.

Сила давления равна произведению давления на площадку, по которой оно приложено, т.е. на площадь живого сечения. Работа сил давления равна произведению силы на перемещение. По левому живому сечению эта работа положительна (сонаправлена с осью), по правому – отрицательна. Мощность сил проталкивания равна произведению силы на скорость (т.к. скорость – это перемещение в единицу времени, а мощность – работа в единицу времени).

Таким образом, получаем:

.

В знаменателе выражения для мощности сил проталкивания стоит масса, введенная внутрь рассматриваемого элемента трубки тока, т.к. мы рассматриваем удельные мощности.

Раскрывая скобки и пренебрегая малыми высших порядков, а также сокращая , получим:

(3)

Подставим полученное выражение в (2’):

. (*)

Займемся преобразованием последнего слагаемого. Умножим и разделим на плотность в числителе и возьмем дифференциал по частям:

.

В первом из слагаемых справа выразим конвективную производную через разность субстанциональной и локальной, во втором слагаемом воспользуемся уравнением неразрывности

. (4)

Подставим теперь (4) в (*)

.

Полную производную по времени из правой части перенесем налево и объединим с производной от внутренней энергией. Сумма называется энтальпией. Оставшиеся справа частные производные раскроем как производные от произведения:

.

Окончательно уравнение энергии запишется в виде:

.

Дата добавления: 2014-01-13