Преломление света на сферической поверхности

Линза – деталь из стекла, одна из поверхностей которой не плоская. Существуют сферические и цилиндрические линзы. В последние десятилетия разработаны технологии изготовления и находят применение линзы с асферическими поверхностями, например, имеющими форму парабалоида или гиперболоида вращения.

Лекция 15. Линзы

Рис. 15.1. Продольные сечения линз различного типа: 1 – 3 – положительные или собирающие линзы, 4 – 6 – отрицательные или рассеивающие линзы.

Приближения, используемые при расчетах линзовых оптических систем:

1. Линию, проходящую через вершину преломляющей сферы О нормально к поверхности, называют главной оптической осью. (В случаях, когда это не вызывает недоразумений определение «главная» опускают. Оптическая ось – любая прямая, проходящая через точку О)

В геометрической оптике, как правило, используют центрированныеоптические системы, содержащие множество линз, обладающих общей главной оптической осью.

2. Параксиальное приближение. Полагают, что углы падения и преломления лучей на сферическую поверхность малы. Это позволяет считать синусы и тангенсы этих углов одинаковыми и равными самим углам, а косинусы углов падения и преломления равными единице.

3. В простейшем случае линзы считают тонкими. При этом пренебрегают реальной оптической толщиной линзы. В большинстве школьных учебных задач используют именно это приближение. При практических расчетах это приближение не применяют, так как оно годится только для грубых оценок параметров оптической системы.

4. Параксиальное приближение центрированных оптических систем, учитывающее реальные толщины линз, называют гауссовым приближением или гауссовой оптикой. В гауссовой оптике при рассмотрении хода лучей в линзах оперируют нулевыми лучами, а реальные искривленные преломляющие сферические поверхности заменяют преломляющими плоскостями – главными плоскостями (подробнее см. ниже).

Выведем соотношение, связывающее показатели преломления сред n и n` и радиус кривизны сферической поверхности r с расстояниями от светящейся точки А и ее изображения А` до центра сферической поверхности О: S и S` (см. рис.15.2).

Рис. 15.2. Преломление лучей на сферической поверхности.

Используя параксиальное приближение и правила знаков выразим углы через отношение сторон соответствующих треугольников:

φ= h/r; ­ σ = h/-S; σ` = h/S`.

Рассмотрим треугольник MCS. По определению внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, т.е.

- ε = φ + (- σ);

Из треугольника MS`C

φ = σ ` + (- ε`), то есть

- ε = φ – σ;

- ε` = φ – σ`

Умножаем первое уравнение на n, а второе – на n`:

- nε = (φ – σ)n;

- ε`n` = (φ – σ`)n`.

Для малых углов в параксиальном приближении закон преломления записывается в виде:

- nε = - n`ε`.

Тогда

n(φ – σ) = n`(φ – σ`).

Подставим в полученное выражение значения углов, выраженные через отношение отрезков – сторон треугольников, записанные выше. Сокращая h получим:

(15.1)

Это соотношение называют нулевым инвариантом Аббе. Инвариант Аббе дает возможность вычислить положение изображения светящейся точки, расположенной на оптической оси. В инвариант Аббе не входят высота луча и угол между лучом и оптической осью. Это означает, что все лучи, идущие под малыми углами к оси пройдут в одну точку А`. То есть гомоцентрический пучок, преломленный сферической поверхностью, остается гомоцентрическим, если выполняется условие параксиальности.

Инвариант Аббе применим как для выпуклой (r > 0), так и для вогнутой (r < 0) поверхностей. Его иногда записывают в виде:

.

Пусть светящаяся точка находится на бесконечности. При этом на поверхность падают параллельные лучи, идущие вдоль главной оптической оси, которые соберутся в точку.

Рис. 15.2. Фокусировка параллельного светового пучка сферической поверхностью раздела двух сред.

Точку f` называют задним главным фокусом поверхности. Отрезок Оf` - заднее главное фокусное расстояние. Его можно вычислить по формуле (15.1) положив S = - ¥, тогда

. (15.2)

При подстановке S` = ¥, S = f получим выражение для переднего фокусного расстояния f:

. (15.3)

Разделив (15.2) на (15.3) получим зависимость между фокусными расстояниями одной преломляющей поверхности:

. (15.4)

Дата добавления: 2014-01-13