Решение. Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности. Фундаментальное

При передаче тепла теплопроводностью количество тепла, поступившее в рассматриваемый элементарный объем за единицу времени (или отведенное из этого объема) изменяет теплосодержание этого объема ровно на эту величину (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема к выводу уравнения теплопроводности

для одномерного нестационарного температурного поля

Изменение теплосодержания DQ, вызванное изменением D T температуры T(x,t) за время Dt в выделенном элементе стержня длиной и площадью поперечного сечения, равной единице, равно

(1.10)

Количество тепла, поступившего за это время через единичную площадь поверхности, может быть определено также через приращение плотности теплового потока Dq_x:

(1.11)

Приравнивая выражения (1.10) и (1.11) с учетом основного закона теплопроводности получим:

или (1.12)

Решение уравнения теплопроводности (1.12) для мгновенного точечного (плоского) источника предложено Томсоном–Кельвином и имеет вид [3]

. (1.13)

Рис. 1.2. Распределения температуры в моменты времени t₁ и t₂ от точечного источника тепла, вспыхнувшего в точке x=x при t =0

Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция (1.13) удовлетворяет уравнению теплопроводности (1.12) и, кроме того, граничным условиям, которые могут быть записаны в виде:

(1.14)

Из формулы (1.13) также следует, что функция G(x,x,t) имеет максимум в точке x=x и что количество тепла Q в любой момент времени остается неизменным и равным C_VВ, а также, что величина В представляет собой площадь, ограниченную функцией T(x,t) и осью x.

Дата добавления: 2014-01-13