Формулировка методов

Многошаговые разностные методы

Для решения задачи Коши

, . (8.35)

Введем по переменной равномерную сетку с шагом , т.е. рассмотрим множество точек

.

Будем обозначать через точное решение задачи (8.35), а через , функции, определенные на сетке . Линейным -шаговым разностным методом называется система разностных уравнений (систему расписать при

, (8.36)

где числовые коэффициенты, не зависящие от , , причем .

Уравнение (8.36) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значение через найденные ранее значения .

Расчет начинается с , т.е. с уравнения

.

Отсюда видно, что для начала работы алгоритма необходимо задать начальных значений . Значение определяется исходной задачей (8.35), а именно полагают . Величины можно вычислить, например, с

помощью метода Рунге-Кутта. В дальнейшем будем полагать, что начальные значения заданы.

Из уравнения (8.36) видно, что в отличие от методов Рунге-Кутта многошаговые разностные методы допускают вычисление правых частей только в точках основной сетки .

Метод (8.36) называется явным, если , и, следовательно, искомое значение выражается явным образом через предыдущие значения . В противном случае (т.е. когда ) метод называется неявным. Тогда для нахождения , в общем случае, приходится решать нелинейное уравнение

,

где (доказать)

.

Обычно это уравнение решают методом Ньютона, выбирая начальное приближение равным .

Заметим, что коэффициенты уравнения (8.36) определены с точностью до множителя. Чтобы устранить этот произвол, будем считать, что выполнено условие

, (8.37)

означающее, что правая часть разностного уравнения (8.36) аппроксимирует правую часть дифференциального уравнения (8.35).

В практике вычислений наибольшее распространение получили методы Адамса, которые представляют собой частный случай многошаговых методов (8.36), когда производная аппроксимируется только по двум точкам, и , т.е.

, , .

Таким образом, методы Адамса имеют вид

. (8.38)

В случае методы Адамса называются явными, в случае неявными.

Дата добавления: 2014-01-13