Погрешность аппроксимации многошаговых методов

Погрешностью аппроксимации на решении или невязкой разностного метода (8.36)

, (8.36)

называется функция

, (8.39)

получающаяся в результате подстановки точного решения дифференциальной задачи (8.35) в разностное уравнение (8.36).

Рассмотрим вопрос о порядке погрешности аппроксимации при в зависимости от выбора коэффициентов . Предполагается, что все рассматриваемые функции обладают необходимой гладкостью.

Можно показать, (доказательство опускаем), что погрешность аппроксимации имеет порядок , если выполнены условия:

, (8.40)

, . (8.41)

Вместе с условием нормировки (8.37) уравнения (8.40) и (8.41) образуют систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

.

Можно несколько упростить эту систему. А именно, рассмотрим уравнение (8.41) при

и учтем условие нормировки (8.37). Тогда получим уравнение

.

Окончательно получаем систему уравнений

,

, , (8.42)

которая содержит уравнений и неизвестных , . Коэффициенты и вычисляются по формулам

, . (8.43)

Для того, чтобы система (8.42) не была переопределена, необходимо потребовать, чтобы . Это требование означает, что порядок аппроксимации линейных -шаговых разностных методов не может превосходить . Итак, наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных -шаговых разностных методов равен , а явных ‑ .

Для методов Адамса (8.38) условия -го порядка аппроксимации (8.42) принимают вид

, , . (8.44)

Отсюда видно, что наивысший порядок аппроксимации -шагового метода Адамса равен , а наивысший порядок аппроксимации явного метода Адамса равен .

Дата добавления: 2014-01-13