Примеры многошаговых разностных методов

Наивысший порядок аппроксимации явных -шаговых методов Адамса

(8.45)

равен . Согласно (8.44) условия -го порядка аппроксимации имеют вид

, . (8.46)

Решая систему (8.46), можно найти коэффициенты метода наивысшего порядка аппроксимации (8.45), (8.46) при каждом конкретном . Так, при получим метод Эйлера

.

При получаем соответственно следующие методы -го порядка аппроксимации:

, ,

, ,

, ,

, .

Для неявных шаговых методов Адамса

(8.47)

наивысший порядок аппроксимации равен . Коэффициенты метода (8.47) наивысшего порядка находятся из системы (8.44) с :

, , . (8.48)

При получаем неявный метод Адамса второго порядка аппроксимации

, ,

называемый методом трапеций. При получаем соответственно следующие неявные методы Адамса -го порядка аппроксимации:

, ,

, ,

, .

Выписанные выше неявные методы содержат искомое значение нелинейно, поэтому для их реализации необходимо применять итерационные методы. Например, для неявного метода Адамса четвертого порядка используется итерационный метод

, (8.48)

где номер итерации, . В качестве начального значения можно взять решение, полученное с помощью явного метода Адамса третьего порядка

. (8.49)

Записывая (8.48) в виде

,

получаем, что если , то итерационный метод сходится при условии , которое выполняется при достаточно малом .

Если в (8.48) ограничится только одной итерацией , то получим метод, называемый методом предиктор-корректор.

Дата добавления: 2014-01-13