Уравнение для погрешности

Сходимость и устойчивость многошаговых разностных методов

Для задачи Коши

, . (8.35)

рассмотрим -шаговый разностный метод

,

(8.50)

где заданы начальные значения .

Выясним условия, при которых сходится метод (8.50) и дадим оценки погрешности в любой момент времени , , через начальные погрешности и через погрешности аппроксимации.

Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность . Подставляя в левую часть уравнения (8.50) вместо выражения , , получим

Далее, добавим к правой части этого уравнения и вычтем из нее выражение

Тогда уравнение для погрешности примет вид

, (8.51)

где через обозначена погрешность аппроксимации

(8.52)

а через функция

(8.53)

Погрешность аппроксимации оценивалась в п.2 параграфа 8.3, где были найдены условия го порядка аппроксимации, В частности, при выполнении этих условий при .

Функция , входящая в правую часть уравнения (8.51), зависит нелинейно от погрешности , . Вид нелинейности определяется функцией . В дальнейшем будем предполагать, что удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, т.е.

(8.54)

для всех , из рассматриваемой области. Тогда из (8.53) следует, что для функции выполнена оценка

,

где .

Ниже будет получена оценка решения уравнения (8.51) через и , , из которой будет следовать сходимость метода (8.50). Предварительно потребуются некоторые сведения из теории разностных уравнений.

Дата добавления: 2014-01-13