Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Устойчивость по начальным данным

Задача Коши для уравнения (8.55) состоит в отыскании сеточной функции , удовлетворяющей при всех уравнению (8.55) и принимающей при заданные начальные значения . В дальнейшем будем считать, что . Тогда уравнение можно разрешить относительно :

. (8.57)

Отсюда следует, что при решение задачи Коши существует и единственно.

Говорят, что уравнение (8.55) устойчиво по начальным данным, если существует постоянная , не зависящая от и такая, что при любых начальных данных для его решения выполняется оценка

, . (8.58)

Тем самым устойчивость означает равномерную по ограниченность решения задачи Коши.

Оказывается, что устойчивость или неустойчивость уравнения (8.55) по начальным данным целиком определяется расположением корней характеристического уравнения (8.56).

Будем говорить, что выполнено условие корней, если все корни характеристического уравнения (8.56) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней. Справедлива

Теорема 1. Условие корней необходимо и достаточно для устойчивости уравнения (8.55) по начальным данным.

Дата добавления: 2014-01-13