Нелинейные системы дифференциальных уравнений

Обобщим понятие жесткости на случай нелинейной системы

, , (8.74)

где

,

.

Зафиксируем какое-либо решение системы (8.74) и образуем разность между решением системы (8.74) и данным решением . Эта разность удовлетворяет следующей системе уравнений:

, . (8.75)

Будем рассматривать как малое возмущение, внесенное в решение . Проведем разложение по формуле Тейлора в правой части системы (8.75). Так как

,

имеем

,

где через обозначены величины второго порядка малости по . В результате разложения система (8.75) примет вид

, (8.76)

где через обозначена матрица с элементами

,

Отбрасывая в (8.76) величины , получим так называемую систему уравнений первого приближения

. (8.77)

Система (8.77) является системой линейных дифференциальных уравнений относительно , так как функция задана.

Определение жесткости системы нелинейных дифференциальных уравнений связано как с данным фиксированным решением , так и с длиной отрезка интегрирования

Пусть , собственные числа матрицы .

Число жесткости определяется как

.

Система (8.74) называется жесткой на решении и на данном интервале , если

1) , , для всех ,

2) велико.

Дата добавления: 2014-01-13