Математические модели

I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

АКТУАЛЬНОСТЬ. В настоящее время трудно найти такую область человеческой деятельности, где не используется вычислительная техника. Поэтому для современного человека умение использовать ЭВМ для решения стоящих перед ним задач, в области производства, техники, науки и т.п., является просто обязательным. Вычислительная техника применяется сейчас не только в инженерных и экономических науках, но и в таких традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, психология и т.д. На ЭВМ осуществляют процесс математического моделирования различных сфер человеческой деятельности.

Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов и явлений реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики - математических моделей. Этот метод чрезвычайно плодотворен и известен тысячелетия. Насущные задачи земледелия и строительстваприводили к необходимости определения площадей и объемов, т.е. к рассмотрению элементарных геометрических фигур-простейших математических моделей.

Процесс создания математической модели условно можно разбить на ряд основных этапов:

1) построение математической модели;

2) постановка, исследование и решение соответствующих вычислительных задач;

3) проверка качества модели на практике и модификация модели.

Так мы обычно и действуем в обычной жизни: ставим ту или иную проблему, решаем ее тем или иным способом, а затем думаем, то ли мы сделали или нет, и устраивает ли нас полученный результат.

§1. Построение математической модели. Основное требование, предъявляемое к математической модели - адекватность рассматриваемому явлению, т.е. она должна достаточно точно (в рамках допустимых приближений) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и возможностью ее реального использования для решения поставленной задачи. Построение математических моделей - существенная и очень важная часть естественных и технических наук, т.к. они являются теоретической базой любой современной науки. Эта задача, требует от исследователя глубокого знания предметной области, высокой математической культуры, опыта построения моделей, развитой интуиции и много другого.

Отметим, что математическая модель неизбежно представляет компромисс между бесконечной сложностью изучаемого явления и желаемой простотой его описания.

§2. Постановка, исследование и решение вычислительных задач. Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выявить их зависимости от других, входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи.

Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение задачи находится путем геометрических построений. Например, для нахождения корней уравнения строится график функции , точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений , дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике, это слишком редкие случаи.

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Численный метод наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и еще одним важным качеством -не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей

§3. Проверка качества модели на практике и модификация модели. На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель не пригодна и ее следует пересмотреть. Если ее результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель можно принять пригодной.

Таким образом, решение серьезной инженерной задачи с использованием ЭВМ - довольно длительный и сложный процесс. С определенной степенью условноститри основные этапа можно разбить на ряд последовательных этапов:

- постановка проблемы;

- выбор и построение математической модели;

-постановка вычислительной задачи;

- предварительный анализ свойств вычислительной задачи;

- выбор ипостроение численного метода;

- алгоритмизация и программирование;

- отладка программы;

- счет по программе;

- обработка и интерпретация результатов;

- использование результатов и корректировка математической модели.

Нетрудно заметить аналогию этих основных этапов с этапами, проводимыми при организации натуральных экспериментов: составление программы эксперимента, создание экспериментальной установи, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов, обработка экспериментальных данных и их интерпретация и т.д. Следовательно, математическое моделирование–вычислительный эксперимент, в котором эксперимент проводится не над реальным объектом, а над его математической моделью, и роль экспериментальной установки играет оснащенная специальной программой ЭВМ.

Дата добавления: 2014-01-14