Метод деления отрезка пополам

Простейшие итерационные методы.

Определение. Метод называется итерационным, если по одному или нескольким заданным начальным приближениям строится бесконечная последовательность приближенных решений, которая сходится к точному решению уравнения.

Пусть функция непрерывна на промежутке [a, b] и известно, что на [a, b] лежит только один корень уравнения . Обозначим его x ^*.

1-й шаг: Полагаем . Вычисляем . Если = 0, то — корень уравнения и вычисления заканчиваются. В противном случае выполняем

2-й шаг: Полагаем

.

Вычисляем . Если , то — корень уравнения, и вычисления заканчиваются. В противном случае повторяем 2-й шаг, где вместо возьмем , а вместо получим . Продолжая зтот процесс, получим последовательности

...

...

Числа и образуют промежуток [ a_n, b_n ], длина которого стремится к 0 при , а . Имеет место оценка

.

Если мы хотим получить корень с точностью e, то вычисления можно прекратить, если величина справа окажется меньше e. Следовательно, мы заранее можем определить число шагов, которое нам потребуется для получения корня с заданной точностью. Это будет наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

(2.1)

Дата добавления: 2014-01-14