Непрерывное наращение и дисконтирование

3.1. Непрерывное наращение. Сила роста. До сих пор мы рассматривали дискретные проценты, т.е. проценты, которые начисляются в определенные моменты времени. Более общими являются непрерывные проценты при которых начисление происходит постоянно в течении определенного срока. Непрерывное наращение (непрерывные проценты) применяются при долгосрочных инвестициях. Это связано с тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому их аналитическое описание с помощью непрерывных процентов более адекватно, чем на основе дискретных. При непрерывном наращении применяют непрерывную процентную ставку - силу роста (fors of interest), а сами проценты называют непрерывными. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Сила роста может быть постоянной и переменной во времени.

а) постоянная сила роста. Пусть d номинальная ставка с m периодами начисления в году. Когда m®¥ интервал времени между начислениями процентов будет стремится к нулю (), т.е. в пределе будем иметь непрерывные процессы начисления процентов и наращения. Согласно формуле (2.4 (см. пред. лекцию)) для наращенной суммы можем записать:

.

Поэтому при m®¥ наращенная сумма будет равна пределу:

или

(2.15)

Ставка процентов d в этой формуле является постоянной ставкой непрерывных процентов и называется постоянной силой роста, а сама формула называется формулой наращения при постоянной силе роста. Величина m_dⁿ называется множителем наращения по постоянной ставке непрерывных процентов.

На основании приведенных соотношений следует, что постоянная сила роста d представляет собой номинальную ставку у которой количество периодов начисления m®¥.

б) переменная сила роста. Если сила роста зависит от времени, т.е. имеем переменную силу роста d(t), то наращенная сумма определяется по формуле:

(2.16)

Пусть сила роста изменяется как геометрическая прогрессия: , где d₀ - начальное значение процентной ставки (значение силы роста при t =0), q - знаменатель геометрической прогрессии (годовой коэффициент роста). В соответствии с (2.16) имеем:

.

Из (2.16) следует, что при дискретном изменении силы роста в течении срока всего n множитель наращения можно определить по следующей формуле:

где d_k постоянная сила роста в течении срока n_k, m -количество сроков n_k, n -суммарная продолжительность сроков n_k.

Иногда вместо переменной силы роста d(t) удобно использовать среднюю силу роста `d, т.е. постоянную величину на протяжении всего периода начисления:

(2.17)

3.2. Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок. Современная величина A при дисконтировании по непрерывной процентной ставке определяется на основании формулы наращения (2.15). Имеем:

(2.18)

По аналогии с выводом формулы наращения по непрерывной процентной ставке, формулу дисконтирования по непрерывной учетной ставке получим, если будем использовать номинальную учетную ставку s с количеством периодов дисконтирования m®¥. В результате будем иметь следующее соотношение:

(2.19)

т.е. такую же формулу, что и для дисконтирования по непрерывной процентной ставке.

Дата добавления: 2014-01-14