Основные свойства преобразования Лапласа. 2. Преобразование производной:

1. Линейность:

,

;

2. Преобразование производной:

(при нулевых начальных условиях);

3. Преобразование интеграла:

4. Запаздывание:

.

Пример. Рассмотрим следующее уравнение

.

Пусть даны нулевые начальные условия

.

Запишем преобразования Лапласа для входной и выходной величин

.

Тогда

.

Получим

.

где k ₁ – общий коэффициент усиления (передачи), Т ₁, Т ₂, t ₁ – постоянные времени.

В общем случае передаточная функция звена определяется выражением

,

где N (s) и L (s) – многочлены с коэффициентами 1 в младших членах, причем степень N (s), как правило, ниже степени L (s).

Дифференциальное уравнение звена

Зная передаточную функцию звена можно записать дифференциальное уравнение этого звена.

Пусть , тогда в общем виде уравнение можно записать , где операторобозначает операцию дифференцирования.

Если знаменатель передаточной функции приравнять 0, то получим характеристическое уравнение L (λ)=0.

Корни характеристического уравнения называются полюсами передаточной функции.

Если числитель передаточной функции приравнять 0 (N (λ)=0) и решить это уравнение, то корни данного уравнения называются нулями передаточной функции.

Пример.

Передаточная функция звена .

Характеристическое уравнение . Полюса – это корни данного уравнения.

Нули передаточной функции – это корни уравнения.

Основные виды динамических характеристик звена

Переходная функция звена

Переходной функцией звена h (t) называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, т.е. переходной процесс на выходе х ₂(t) при скачке 1(t) на входе х ₁(t)

х ₂(t) = h (t)

Дата добавления: 2014-01-14