Определение границ устойчивости по критерию Михайлова

Определение критерия Михайлова

Для устойчивости линейной системы n -го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D (jw) при изменении частоты w от 0 до ¥ равнялось бы n × p/2:

D argD (jw)= n × p/2 при 0 £ w £ ¥.

Другими словами

Для устойчивости линейной системы n -го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно n квадрантов против часовой стрелки (все время окружая начало координат).

Границы устойчивости можно объединить равенством l ₁= jw ₀, включая w = 0.

Если характеристическое уравнение системы D (l) = 0 имеет корень l ₁= jw ₀, то

X (w ₀) = 0, Y (w ₀) = 0.

Графически это означает попадание одной точки кривой Михайлова w = w ₀ в начало координат, как показано на рисунках:

Физический смысл величины w = w ₀ – частота колебаний системы на границе устойчивости.

На границе устойчивости системы все остальные корни, кроме l =± jw ₀, должны лежать слева от мнимой оси плоскости. Иначе система будет неустойчивой. Поэтому требуется, чтобы кривая Михайлова проходила бы все остальные квадранты, кроме пропущенного из-за прохождения через начало координат, как показано, например, для n =5, на рис. б.

Следовательно, например, годограф на следующем рисунке соответствует не границе устойчивости, а неустойчивой системе.

Выражения для X и Y используются для построения областей устойчивости системы на плоскости любых двух параметров A и B, выбираемых при проектировании системы (например, коэффициент усиления и постоянная времени).

На границе устойчивости имеем:

X (w ₀, A, B) = 0, Y (w ₀, A, B) = 0,

причем параметры A и B входят в коэффициенты характеристического уравнения системы. Путем задания разных значений величины w ₀ (0 £ w £ ¥) из этих уравнений определяются значения параметров A и B. В результате по точкам строятся границы устойчивости на плоскости A,B.

Пример. Рассмотрим определение границ и области устойчивости системы по критерию Михайлова для простого случая. Пусть характеристическое ураввнение будет:

Тогда для D (jw) = X (w) +j Y (w) получим выражения для действительной и мнимой частей:

, .

Для устойчивости системы третьего порядка необходимо, чтобы кривая Михайлова проходить последовательно через три квадранты против часовой стрелки, все время окружая начало координат при изменении частоты от 0 до ¥, т.е. w ₀₁< w ₀₂< w ₀₃

Приравняем мнимую часть нулю:

Y (w) = w –Т ₁ Т ₂ w ³ = 0, или Y (w) = w (1 –Т ₁ Т ₂ w ²) = 0.

Отсюдаполучим w ₀₁=0, w ₀₃²=1/(Т ₁ Т ₂).

Приравняем действительную часть нулю: X (w) = K– (Т ₁+ Т ₂) w ²=0.

Отсюдаполучим w ₀₂²= K /(Т ₁+ Т ₂)

Так как w ₀₁< w ₀₂< w ₀₃,то получим 0< K /(Т ₁+ Т ₂)<1/(Т ₁ Т ₂)

или K > 0, K < (Т ₁+ Т ₂)/ Т ₁ Т ₂,

0 <K < (1/ Т ₁+1/ Т ₂).

Границы устойчивости:

1) w ₀₁²= w ₀₂², K =0.

2) w ₀₂²= w ₀₃², K_гр= (Т ₁+ Т ₂)/(Т ₁ Т ₂)=1/ Т ₁+1/ Т ₂.

По критерию Михайлова удобно определять области устойчивости для систем любого порядка. Достоинством критерия Михайлова является то, что он проще и нагляднее для определения устойчивости системы, чем критерий Гурвица, особенно для систем высокого порядка.

Дата добавления: 2014-01-14