Критерий устойчивости Михайлова. Возьмем характеристический многочлен линейной системы n-го порядка

Возьмем характеристический многочлен линейной системы n -го порядка

с положительными коэффициентами (необходимое условие устойчивости). Подставив в него чисто мнимое значение l = jw; получим

,

Изобразим годограф этого выражения на комплексной плоскости X (w), Y (w), изменяя w от нуля до бесконечности ¥.

Практически годограф строится по точкам. Задают несколько разных значений w в интервале между 0 и ¥ (достаточно по одной точке в каждом квадранте) и по формулам вычисляют координаты точек кривой Михайлова X (w), Y (w).

Эти годографы называются кривыми Михайлова. Ониимеют для различных n примерно такие формы, как показано на рисунке.

Заметим следующее: при w= 0 имеем X = a_n, Y = 0; при w= ¥ будет X = + ¥ или X = – ¥, а Y = + ¥ или Y = – ¥.

Предельные значения + ¥ или – ¥ зависят от показателя степени n.

Если все a_i положительны, то для n =3 при w= 0 будет X = – ¥, Y = – ¥; а для n =5 получим X = + ¥, Y = + ¥ и т. д.

Дата добавления: 2014-01-14