Следствие.Интерполяционная квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности не меьше п - 1

Рассмотрим вопрос о верхней границе для АСТ. Пусть . Это многочлен степени 2 п. Запишем для него интерполяционную квадратурную формулу: . Интеграл слева положителен в силу выбора и положительности функции . Сумма справа = 0. Значит и формула не точна. Значит, АСТ не больше, чем .

Определение. Говорят, что квадратурная формула имеет представление остатка в форме Лагранжа, если существуют такое натуральное т и такая постоянная С, что для любой т раз непрерывно дифференцируемой на [a,b] функции найдется такая точка , что

.

Теорема. Если квадратурная формулаимеет представление остатка в форме Лагранжа, а d — ее алгебраическая степень точности, то .

Доказательство. Для многочлена степени не выше d , значит, , следовательно, . Для многочлена степени d +1 , значит, , следовательно, . Отсюда .

Дата добавления: 2014-01-14