Квадратурная формула прямоугольников

Пусть . Рассмотрим квадратурную формулу с одним узлом, лежащим на промежутке [a,b], включая его границы, т. е. точки a и b. Обозначим этот узел через c. Квадратурная формула будет иметь вид:

. (3.1)

Найдем коэффициент А: , значит, . Рассмотрим геометрический смысл этой формулы.

Как известно, величина определенного интеграла равна площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. Мы проводим через точку f (c) прямую, параллельную оси х, и заменяем площадь под кривой площадью заштрихованного прямоугольника.

Наиболее часто употребляемыми являются следующие случаи:

1) c = a. В этом случае получаем формулу левыхпрямоугольников:

. (3.2)

2) c = b. Получаем формулу правых прямоугольников:

. (3.3)

3) с = . Получаем формулу средних прямоугольников:

(3.4)

Вычислим остаточные члены, входящие в эти формулы.

1-я формула. Пусть f (x)— имеет непрерывную 1-ю производную. . Разложим f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки a:

Отсюда получим:

. Проинтегрируем это равенство:

. В интеграле справа множитель сохраняет знак на [a,b], а — непрерывна на [a,b] (напоминаем, что x зависит от x). Значит, по лемме найдется точка , такая что . Следовательно

(3.5)

2-я формула. Вычисления будут аналогичны 1-му случаю, если поменять местами пределы интегрирования. Таким образом,

(3.6)

3-я формула. Пусть функция f (x) имеет непрерывную 2-ю производную всюду на[a,b]. Разложим f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки (a + b)/2: .

Запишем эту формулу для промежутка [-1,1]:

где .

Отсюда

Проинтегрируем это равенство, и заметим, что в силу нечетности относительно середины промежутка [-1, 1], . Поэтому

. Функция положительна на ,

а непрерывна на . Применив снова лемму, получим:

, где. Перейдем к промежутку [a,b], воспользовавшись свойством 7. из §2 для подобных формул. Тогда

, где .

Дата добавления: 2014-01-14