Формулы Ньютона - Котеса

Здесь мы рассмотрим интерполяционные квадратурные формулы, в которых весовая функция , а узлы расположены равномерно на промежутке [a,b], причем концы промежутка обязательно являются узлами, т.е. . Таким образом, наименьшее число узлов — 2, т.е. точки a и b.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся формулы.

1. Формула трапеций. В качестве узлов берем точки . Квадратурная формула будет иметь вид:

(4.1)

Найдем коэффициенты A₁ и A₂:

Значит

(4.2)

Геометрический смысл формулы трапеций: Мы заменяем площадь под кривой

площадью трапеции, как изображено на рисунке.

Отсюда и название — формула трапеций.

Теперь рассмотрим вопрос об остаточном члене

формулы трапеций. Пусть функция f (x) имеет непрерывную 2-ю производную всюду на [a,b]. Тогда

(4.3)

Запишем остаточный член интерполирования функции f (x) по узлам a и b:

и x зависит от х.

Проинтегрируем левую и правую часть этого равенства по х:

.

Функция , стоящая под знаком интеграла, не меняет знак на [a,b], а непрерывна на [a,b] по предположению. Значит можно применить обобщенную теорему о среднем. Тогда .

Таким образом получаем

(4.4)

Дата добавления: 2014-01-14