Лекція 7

.

Допустим, что годовой модуль стока реки аналога в 1919 г.

М_а=10.0 л/ (с км²). Из уравнения (11) находим годовой модуль стока в изучаемом бассейне в 1919 г.

М₁₉₁₉= 10.72+0.98 л/(с км²)

в 1920 г. М_{а =} 6.8 л/(с км²), тогда

_л/ (_{с км}²)

Аналогично определяем значение годового стока изучаемого бассейна для всех последующих лет за которые имеются наблюдения в аналоге.

По удлиненному ряду находим норму стока, как среднее арифметическое

1(12)

II. Определение нормы стока по графику связи. Исходные данные: годовые модули стока в изучаемом бассейне за период n=10 лет.

В данной работе бассейн-аналог указан и приведены данные наблюдений в нем за многолетний период (n=25 лет).

Данные одновременных наблюдений (за период n лет) наносятся на координатную сетку, откладывая по оси ординат годовые модули стока в изучаемом бассейне (М), по оси абсцисс - модули стока в бассейне- аналоге (М_а). По этим точкам проводим линию связи таким образом, чтобы она удовлетворяла равномерному расположению точек по обе стороны. Масштаб построения графика связи выбирают так, чтобы линия связи проходила примерно под углом 45⁰.Для построения удовлетворительной прямолинейной связи годовых значений стока необходимо иметь одновременные наблюдения в изучаемом и аналогичном бассейне не менее 6 лет (n ³ 6 лет). Отклонение большей части точек от линии связи не должно превышать 15%.

Вычислив норму стока в бассейне аналоге непосредственно по длинному ряду наблюдений (), откладываем ее значения на оси абсцисс и по графику связи находим норму стока в изучаемом бассейне.

На рис. 1 приведен график связи между годовыми модулями стока р.Камы у пр. Дворянской и р. Камы у г. Перми за 1909 - 1918 гг. По норме стока аналога М_о,а=10.26 л/(с км²) графически определяем соответствующее ей значение нормы в расчетном створе (р.Кама у пр. Дворянская) М_о=10.7 л/(с.км²).

M_n,a

Рис.1. График связи между годовыми модулями стока р. Камы у пр. Добрянская (М) и р. Камы у г. Пермь (М₀).

III. Определение нормы стока по приближенной формуле. Норму стока по приближенной формуле определяют при очень коротком периоде наблюдений (n< 6 лет). Этот способ исходит из предположения, что линия связи стока в двух бассейнах проходит через начало координат и соотношение стока за различные периоды остается постоянным, а именно

(13)

где М_n, M_n,a - среднее значение стока в изучаемом и аналогичном бассейне за одновременный короткий период наблюдений;

М_о, М_{о,а -} норма стока в изучаемом и аналогичном бассейне. Отсюда норма стока в изучаемом бассейне (с коротким периодом наблюдений) равна

(14)

Формула (14) может быть использована в случае, когда отношение находится в пределах 0.8-1.4, а отношение коэффициентов вариации стока в изучаемом и аналогичном бассейне в пределах 0.8 - 1.2. Расчет по формуле (14) производим по тем же исходным данным, что и в предыдущем параграфе.

IV. Определение нормы стока при отсутствии гидрометрических данных. При отсутствии наблюдений над стоком норму стока для какой-либо неизученной реки можно приближенно определить по картам изолиний среднего годового стока. Такая карта для всего Советского Союза составлена в 1946 г. Б.Д. Зайковым.

В 1962 г. опубликована уточненная карта К.П. Воскресенским по большому количеству пунктов наблюдений и по более длинным рядам стока.

Как это было показано на рис.2, для определения нормы стока какой-либо неизученной реки на карте изолиний стока проводится водораздельная линия бассейна реки до замыкающего створа А и определяется М - центр тяжести бассейна; значение модуля стока для центра тяжести М определяется путем интерполяциии между соседними изолиниями, в рассматриваемом примере - между изо-линиями 5 и 6 л/сек с 1 км², и получается равным 5.3 л/(с км²). Это значение и принимается в качестве нормы стока для бассейна реки до замыкающего створа А.

Рис.2. Определение среднего многолетнего стока по карте изолиний

модулей стока (л/сек с 1 км²).

Определив норму стока в виде модуля, можно вычислить значение среднего годового многолетнего расхода по формуле

м^3/сек,

(15)

где М_{0 -} модуль стока, определенный по карте для центра тяжести бассейна, в л /сек с км²; F - площадь бассейна до данного замыкающего створа в км².

Для очень больших речных водосборов и при различии в нормах стока на отдельных составляющих водосбора следует определять по карте изолиний средневзвешенный модуль стока по следующей формуле

л /сек с км^2

(16)

где М_1, М_2,..., М_{n -} средние арифметические значения модулей стока соседних изолиний, ограничивающих отдельные бассейна, f_1, f_2,..., f_n - площади бассена между соседними изолиниями стока, определяемые планиметрированием.

Определение нормы стока по картам изолиний на Европейской территории России для больших бассейнов может быть сделано с точностью до 3-5 %; для малых бассейнов точность определения нормы стока рек значительно снижается.

Распределение нормы стока рек по территории РФ имеет ясно выраженную широтную зональность.

В заключении следует произвести сопоставление результатов расчета нормы годового стока различными способами, принимая в качестве основного способа - определение нормы стока по многолетним гидрометрическим данным.

Результаты сопоставления нормы годового стока приведены в таблице 3.

Таблица 3

Сопоставления нормы годового стока, полученные различными способами.

	Много-летний ряд	Метод корреляции ---------------------------	График связи	Приближенная формула	Карта изолиний
Уравнение регоессии	Удлиненныйряд
М л/с.км^2
% отклоне-ния	-

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Знаходження частинних розв’язків методом добору. Застосування лінійних диференціальних рівнянь до вивчення коливних явищ в електричних контурах.

Лінійними неоднорідними диференціальними рівняннями n -го порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння виду

(7.1)

де – неперервна на функція, ,

Оскільки фундаментальну систему розв’язків відповідного однорідного рівняння завжди можна побудувати, то задача інтегрування рівняння (7.1) зводиться до задачі побудови якого-небудь частинного розв’язку рівняння (7.1). Частинний розв’язок рівняння (7.1) завжди можна знайти, застосовуючи метод варіації довільних сталих (Лагранжа) або метод Коші.

Розглянемо також метод добору, який дозволяє знаходити частинний розв’язок рівняння (7.1) суто алгебраїчними методами.

Якщо права частина в (7.1) має спеціальний вид

(7.2)

де – комплексна (зокрема дійсна) стала, яка називається контрольним числом функції ; – многочлен степеня , то знаходження частинного розв’язку по суті зводиться до алгебраїчних операцій.

Нехай контрольне число є коренем характеристичного рівняння оператора кратності (якщо , то отримуємо резонансний випадок; якщо не є коренем характеристичного рівняння, то і отримуємо нерезонансний випадок). Тоді рівняння (1) має єдиний частинний розв’язок виду

(7.3)

де – многочлен степеня , коефіцієнти якого можна знайти за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

Якщо коефіцієнти рівняння (7.1) – дійсні числа, а права частина має спеціальний вид

(7.4)

де – дійсні сталі, – многочлени степеня і відповідно з дійсними коефіцієнтами, то рівняння (7.1) має єдиний частинний розв’язок виду

(7.5)

де – кратність контрольного числа функції як кореня характеристичного рівняння оператора (– резонансний випадок, – нерезонансний випадок), – многочлени степеня , коефіцієнти яких можуть бути знайдені методом невизначених коефіцієнтів.

Отже, лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами завжди можна проінтегрувати в квадратурах, причому у випадку, коли права частина рівняння (7.1) – функція має спеціальний вигляд (7.2) або (7.4), інтегрування по суті зводиться до алгебраїчних операцій.

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має розв’язки і . Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння Права частина даного рівняння Звідси, так як і . Диференціюючи двічі і підставляючи похідні в дане рівняння, дістанемо:

Скоротивши на і порівнявши коефіцієнти при перших степенях х і вільні члени в лівій і правій частині рівності, отримаємо 5А=4 і 7А+5В=0, звідки і

.

Тоді .

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має двохкратний корінь . Права частина рівняння має вигляд тут і . Частковий розв’язок оскільки співпадає з двократним коренем і, тому,

Диференціюючи два рази, підставляючи в рівняння і прирівнюючи коефіцієнти, дістаємо Звідси, загальний розв’язок даного рівняння записується у вигляді

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання. Характеристичне рівняння має розв’язки і . Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння буде:

Права частина має вигляд

де Їй відповідає частковий розв’язок

(тут N=1, a=0, b=1, r=1).

Диференціюючи два рази і підставляючи отримані вирази в рівняння, порівнюємо коефіцієнти в обох частинах рівності при , , , . В результаті дістаємо систему чотирьох рівнянь:

з яких і визначаються , .

Тому

Загальний розв’язок

Дослідження коливних процесів за допомогою диференціальних рівнянь продемонструємо на основі прикладу.

Приклад 4. Знайти загальні розв’язки рівнянь

(7.6)

(7.7)

Характеристичне рівняння має корені Праві частини рівнянь (7.6), (7.7) мають спеціальний вид (7.4), причому в обох випадках контрольне число . Розглянемо наступні випадки.

Нерезонансний випадок: . Тоді число не є коренем характеристичного рівняння, і частинні розв’язки шукаємо у вигляді

(7.8)

(7.9)

підставивши (7.8) і (7.9) відповідно в рівняння (7.6) і (7.7), отримаємо

звідси, внаслідок лінійної незалежності функцій , , маємо

(7.10)

Беручи до уваги те, що знаходимо

Тому

Резонансний випадок: Контрольне число є коренем характеристичного рівняння кратності Тоді частинні розв’язки шукаємо у вигляді

(7.11)

(7.12)

Підставивши (7.11) і (7.12) відповідно в рівняння (7.6) і (7.7), отримаємо

Звідки

Тому , .

Контрольні запитання

1. Як розв’язуються лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами?

2. У чому полягає метод невизначених коефіцієнтів? Поясніть на прикладі.

3. Як дослідити коливні процеси за допомогою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами?

Дата добавления: 2014-01-14