Логічні функції та операції

Логіка висловлювань.

Усі види математичної логіки базуються на найпростішому розділі – логіці висловлювань.

Висловлюваннями вважають розповідні речення, котрі стверджують той чи інший факт. Такі реченя називають простими висловлюваннями.

Основною ознакою, за якою досліджується будь-яке висловлювання у алгебрі логіки, є його властивість бути істиним чи хибним. Спонукальні та питальні речення не є висловлюваними з точки зору алгебри логіки.

Отже кожне висловлювання може бути істинним або хибним (закон виключення третього), але не може бути одночасно істинним і хибним (закон суперечності). Запровадження закону виключення третього дає змогу повністю використовувати в логіці висловлювань апарат двозначної логіки. Значення “істина” і “хибність” у логіці висловлювань позначають літерами “І” “Х”, або в двійковій логіці – символами “1” або “0”.

Оскільки логіка висловлювань не розглядає конкретного змісту простих висловлювань, то кожне з них можна позначити, наприклад, великими латинськими літерами А, В, С без індексів або з індексами А1, А2,...,. Літери, що ними позначено висловлювання, називають пропозиційними, і вони можуть набувати істиних значень – відповідно І або Х, 1 або 0. У звичайній мові з простих речень утворюють складні за допомогою сентиційних зв̉язків “не”, “і”, “або”, “якщо... то” і “якщо і тільки якщо”. Формальна логіка цим зв̉язком ставить у відповідність символи логічних операцій ר, &, V, ®, ~, які називаються пропозиційними знаками (логічними зв̉язками).

Таким чином, кожне складне речення, яке складається з простих висловлювань, зв̉язаних пропозиційними знакамиможна зобразити в символічній формі. В наслідок цього отримуютьвисловлювану формулу.

Сентенційні зв̉язки в розмовній мові передбачають різні варіанти. На кожному наборі значень істинності літер (простих висловлювань) формула набуває певного значення (істинного чи хибного), отже, кожну формулу логіки висловлювань можна вважати істинністною функцією, яку зручно зображувати таблицею істинності (таблицею відповідності).

Особливість логічних функцій полягає в тому, що вони набувають значень у скінченних множинах. По іншому кажучи логічні функції мають справу із скінченною сукупністю чисел, символів, понять, властивостей, будь-яких об’єктів взагалі.

Алгебру, що її утворила множина М разом зі всіма можливими операціями на ній називають алгеброю логіки.

Алгебру, утворену двоелементною множиною М разом зі всіма операціями на ній, називають двозначною алгеброю логіки.

Функцією алгебри логіки (або логічною функцією) від n змінних називають n-парну операцію на множині М.

Кожну логічну функцію n аргументів можна задати у вигляді таблиці ітсинності 1, у лівій частині якої зазначено всі 2ⁿ наборів значень змінних (коли М={0,1}), а в правій частині – значення функцій на цих наборах.

А1	А2	...	А n-1	A n	F
		...
		...
...	...	...	...	...	...
		...

Дата добавления: 2014-01-14