Лекция 5. Исследование статистической зависимости

3.

2.

1.

Доказательство теоремы.

Теорема.

Случайная величина , равная

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Легко видеть, что имеет распределение , а имеет распределение . Тогда их разность распределена тоже нормально с нулевым средним и дисперсией равной

Нормируем эту разность. Величина

имеет стандартное нормальное распределение.

Из леммы Фишера следует, что независимые случайные величины и имеют распределения и соответственно, а их сумма

имеет -распределение с степенями свободы и не зависит от и от .

По определению отношение как раз имеет распределение Стьюдента . Осталось подставить в эту дробь и и убедиться, что сократится и получится в точности из теоремы.

Ч.т.д.

Введем функцию

.

Из теоремы следует, что если верна, т.е. если , то величина имеет распределение Стьюдента .

Поэтому остается по найти — квантиль распределения . Для такого величина из распределения удовлетворяет равенству

И критерий Стьюдента выглядит как:

Упражнение.

Проверить гипотезу о равенстве средних товарооборотов в двух магазинах, продающих товары одного вида по двум выборкам, полученным из нормально распределенных генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Товарооборот за 12 месяцев работы (в тыс.руб) составил следующую таблицу:

Магазины Месяц

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 19 15 18 18 20 20 18 35 20 32 40 22

2 16 23 26 26 19 17 19 18 20 27 24 18

Значение квантили

Гипотезу о равенстве средних следует отклонить на уровне значимости .

Часто требуется определить, как зависит наблюдаемая случайная величина от одной или нескольких других величин. Самый общий случай такой зависимости — зависимость статистическая, когда X и У зависимы, но Y не является функцией от X. Например, стоимость квартиры зависит от площади, но не является функцией от нее. Зато среднюю стоимость квартиры можно считать функцией от площади.

Для зависимых случайных величин имеет смысл рассмотреть математическое ожидание одной из них при фиксированном значении другой (других). Такое условное математическое ожидание показывает, как влияет на среднее значение первой величины изменение значений второй.

Дата добавления: 2014-01-14