Взаимная дистрибутивность операций пересечения и объединения

Решение Пример 2.

1) Доказательство дистрибутивности пересечения и объединения относительно друг друга (2.31) - (2.32)

Для операций объединения и пересечения множеств имеют место быть законы дистрибутивности:
(А∪В)∩С=(А∩С)∪(В∩С) (1)
(А∩В)∪С=(А∪С)∩(В∪С) (2)
Док-ва этих теоретико-множественных равенств проводятся в обе стороны, т.е. для доказательства того, что А=В, показывают, что с одной стороны А⊂В, а с другой стороны А⊃В.
Доказательство (1). ⇒ (А∪В)∩С ⊂ (А∩С)∪(В∩С), для любогоx, x∈(А∪В)∩С, следовательно, x∈A или х∈В и х∈С, следовательно, (х∈А и х∈С) или (х∈В и х∈С), следовательно, х∈А∩С или х∈ В∩С, следовательно, х∈(А∩С)∪(В∩С); Обратное (А∪В)∩С ⊃ (А∩С)∪(В∩С) доказывается аналогично, все стрелки можно обернуть.
Доказательство (2). ⇒ (А∩В)∪С ⊂ (А∪С)∩(В∪С), для любогоx, x∈(А∩В)∪С, следовательно, x∈A и х∈В или х∈С, следовательно, (х∈А или х∈С) и (х∈В или х∈С), следовательно, х∈А∩С и х∈ В∩С, следовательно, х∈(А∪С)∩(В∪С); Обратное (А∩В)∪С ⊃ (А∪С)∩(В∪С) доказывается аналогично, все стрелки можно обернуть.

в виде соотношений

(дистрибутивности справа Ç относительно È и слева и от­носительно Ç) было проведено в § 1.4 (см. примеры 1, 2).

а) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С), или

(А È В) Ç С =(А È В) Ç (А È С)

Пример 1. Доказать справедливость соотношения

А È (В Ç C) = (А È В) Ç (A È C)

(свойство дистрибутивности слева объединения È относи­тельно пересечения Ç).

Дата добавления: 2014-01-14