Решение Пример 1

Доказательство равенства двух множеств выполнено с помо­щью диаграмм Венна (см. пример 2, § 1.3).

По определению I равенства множеств

мно­жества равны X = Y, если их элементы совпадают.

Это означает, что Х = Y, если из того, что элемент а Î X,

следует элемент а Î Y, и из того, что a Ï X, следует a Ï Y.

Покажем сначала, что если произвольный элемент а при­надлежит левой части соотношения, т.е. а Î А È (В Ç С),

то он принадлежит и правой части данного соотношения,

т.е. а Î (A È В) Ç (А È С).

Пусть

1. а Î А È (В Ç С).

Из определения операции объединения следует, что элемент а принадлежит объединению множеств А и (В Ç С), если он принадлежит хотя бы одному из них (или, что очевидно, тому и другому). Таким образом, а Î А или а Î (В Ç С), при этом возможны следующие случаи:

а принадлежит множеству А и а не принадлежит пе­ресечению множеств В Ç С:

а ÎА и а Ï(В Ç С).

Последнее условие выполняется,

если а не принадлежит В или С, или им обоим,

т.е.

1.1.1. а ÎА, а Ï В, а Î С;

1.1.2. а ÎА, а ÎВ, а ÏС;

1.1.3. а Î А, а Ï В, а Ï С;

1.2. а Ï А и а Î (В Ç С), т.е. а Ï А, а Î В, а Î С;

1.3. а Î А и а Î (В Ç С), т.е. а Î А, а Î В, а Î С.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1.1. Так как а Î А, то а принадлежит объединению множе­ства

А с любым множеством, в том числе а Î (А È В) и а Î (А È С); следовательно, а принадлежит и их пересечению:

а Î (А È В) Ç (А È С).

1.2. Так как а Î В, а Î С, то а Î (А и В) и а Î (A È С) следовательно,

а е (А и В) п (А и С).

1.3. Так как а е А, то этого достаточно,

чтобы а Î (A È В) и а Î (А È С),

следовательно, а Î (А È В) Ç (А È С).

Таким образом, в любом из рассмотренных случаев из того, что а Î А È (В Ç С), следует, что а Î (A È В) Ç (A È С).

Покажем справедливость второго условия опреде­ления I равенства множеств: если произвольный элемент а не принадлежит левой части соотношения а Ï А È (В Ç С),

то он не принадлежит и правой части данного соотношения

а Ï (А È В) Ç (А иÈС).

Пусть теперь:

2. а Ï А и (В п С).

Элемент а не принадлежит объединению двух множеств, если он не принадлежит ни одному их них.

Тогда а Ï А и а Î (В Ç С), т.е. возможны следующие случаи

(см. п. 1.1):

2.1. а ÏA, a Ï В, а Î С;

2.2. а Ï А, а Î В, а Ï С;

2.3. а Î A, a Ï В, а Ï С.

Рассмотрим каждый из этих случаев:

2.1. Так как а Ï А, а Ï В, то а Ï (А È В), следовательно,

а Ï(А È В) Ç (А È С).

2.2. Так как а Ï А, а Ï С, то а Î (А È С), следовательно,

a Ï (А È В) Ç (А È С).

2.3. Так как а Ï А, а Ï В, то этого достаточно, чтобы а Ï (А È В) и, следовательно, а Ï (А È В) Ç (А Ç С).

Как видим, в любом из этих случаев из того, что а ÏА È (В Ç С), следует, что а Ï (А È В) Ç (А È С).

Таким образом, множества А È (В Ç С) и (А È В) Ç (А È С) совпадают и по определению I равенства множеств

А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С), что и требовалось доказать.

Примечание 1.

В примере 1 проверка условий 1.1.3 и 2.3 -- избыточна.

Примечание 2.

Будем использовать символ Þ,

который в выражениях типа Р Þ Q будет означать:

“если справедливо Р, то спра­ведливо и Q”

или “из того, что Р, следует Q” и т.п.,

а символ Û в выра­жениях типа P Û Q будет означать:

“тогда и только тогда, когда”,

“если и только если” и т.п.

Пример 2.

Доказать справедливость соотношения

(А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С)

(свойство дистрибутивности справа пересечения Ç относи­тельно объединения È).

Дата добавления: 2014-01-14