Метод простых итераций

Итерационные методы.

Вновь рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений , где A – матрица коэффициентов системы , – искомый вектор, – заданный вектор правых частей.

Соотношение задает отображение , где – m -мерное арифметическое пространство. Зададим на нем метрику, например, так:

.

Выразим неизвестные из уравнений системы .

Полученную систему можно записать в компактной форме: , где , , и , , , , .

Если отображение является сжатым отображением в себя, то для решения системы можно применить принцип сжатых отображений Банаха.

Найдем условия сжатости отображения B.

.

Следовательно, оператор B будет оператором сжатия, если или , или для всех i . Следовательно, для всех i , . Здесь мы пользовались тем, что .

Последнее условие называют условием преобладания диагональных коэффициентов, оно означает, что любой диагональный коэффициент системы по модулю больше, чем сумма модулей остальных коэффициентов строки.

Пример.

Таким образом, если в исходной системе диагональные коэффициенты преобладают, то решение системы можно получить, построив итерационный процесс , взяв за начальное приближение любую точку пространства . Чаще всего, в качестве начального приближения берут вектор правых частей системы.

Более подробно итерационный процесс можно записать так:

Процесс построения приближений продолжается до тех пор, пока , где – заданная точность вычислений, . (Однако часто это условие нестрого упрощают, заменяя просто на e). За решение системы принимают вектор .

Если в исходной системе не выполняется условие диагонального преобладания, то следует путем линейных преобразований привести систему к требуемому виду.

Дата добавления: 2014-01-14