Определение определенного интеграла. Формулы прямоугольников. Формула трапеций

Формула Симпсона.

Формулы прямоугольников. Формула трапеций.

Лекция 16.

Численное интегрирование.

«Определение определенного интеграла.

Оценка погрешности квадратурных формул.»

Пусть функция задана на отрезке . Разобьем этот отрезок точками , . На каждом отрезке выберем произвольную точку , составим произведение и составим сумму всех таких произведений, то есть интегральную сумму . Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при , то есть

.

Причем этот предел не зависит от выбора точек . В частном случае, когда функция на отрезке , определенный интеграл имеет следующий геометрический смысл. Интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры. Если , ломаная стремится занять положение кривой , следовательно определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции.

Из курса математического анализа известно, что если существует первообразная функция для функции , то определенный интеграл есть приращение первообразной на отрезке , то есть

.

Это формула Ньютона-Лейбница. Но в некоторых случаях этой формулой воспользоваться нельзя. Например, существует целый класс «неберущихся» интегралов, то есть таких, для которых первообразные не вычисляются в элементарных функциях. Между тем, некоторые из них играют большую роль в математике, как, например, , играющий большую роль в математической статистике. Кроме того, функция может быть задана таблично, или в принципе интеграл можно посчитать по формуле Ньютона-Лейбница, но практически этой сделать очень сложно, как, например, в случае .

Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральная функция заменяется более простой функцией , интеграл от которой вычислить легко, и тогда

.

Формулы численного интегрирования называются квадратурными.

Дата добавления: 2014-01-14