Правило Рунге практической оценки погрешности

Особые случаи численного интегрирования.

Понятие об адаптивных алгоритмах.

Лекция 17.

«Правило Рунге практической оценки погрешности.

Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов.»

Пусть некоторый метод интегрирования имеет порядок точности k, то есть , где – погрешность, A – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и подынтегральной функции, h – шаг разбиения. Тогда

,

а при шаге

,

Выведенная формула называется первой формулой Рунге. Она имеет большое практическое значение. Если нужно вычислить интеграл с точностью e, то мы должны вычислять приближенные значения интеграла, удваивая число элементарных отрезков, пока не добьемся выполнения неравенства

.

Тогда, пренебрегая бесконечно малыми величинами, можно считать, что

.

Если мы хотим получить более точное значение искомого интеграла, то за уточненное значение J мы можем принять вместо сумму

.

Это вторая формула Рунге. К сожалению, погрешность этого уточненного значения остается неопределенной, но обычно она на порядок выше, чем точность первоначального метода (когда за значение J мы принимаем ).

Для примера рассмотрим метод трапеций. Как было показано выше, порядок точности k этого метода равен 2.

,

где . По второй формуле Рунге

,

где есть приближенное значение интеграла найденное методом Симпсона с шагом . Так как порядок этого метода равен 4, то в данном примере применение второй формулы Рунге увеличило порядок точности на 2.

Дата добавления: 2014-01-14