Понятие об адаптивных алгоритмах

Точность интегрирования зависит не только от шага дискретизации, но и характера поведения функции на отрезке интегрирования. А поэтому было бы неплохо иметь алгоритм, который приспосабливался бы к поведению функции на отрезке интегрирования. На практике часто встречаются случаи, когда подынтегральная функция ведет себя по-разному на различных участках отрезка интегрирования.

Суть адаптивного алгоритма заключается в следующем. Отрезок интегрирования первоначально делится на n равных частей. Затем каждый элементарный отрезок подвергается делению до тех пор, пока на этом отрезке не будет достигнута заданная точность.

Пусть для интеграла получены два приближения: и – интегралы, вычисленные для двух разбиений отрезка при шаге h и h /2. Используя правило Рунге, проверим выполнимость неравенства . Если неравенство выполняется, то за значение интеграла по элементарному отрезку берем значение . В противном случае увеличиваем число разбиений в два раза находим новое приближение . И так далее до тех пор, пока на каком-то этапе не будет выполнено неравенство

. (5.2)

Подобный процесс можно провести для всех элементарных отрезков. Интеграл будет вычислен с точностью e, так как для каждого элементарного интеграла были выполнены неравенства (5.2).

Дата добавления: 2014-01-14